Хиральность (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В геометрии фигуру называют хиральной (и говорят, что она обладает хиральностью), если она не совпадает со своим зеркальным отображением, точнее, не может быть совмещена с ним только вращениями и параллельными переносами. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный объект называется ахиральным или амфихиральным.

Винтовая линия (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т. п.) и лента Мёбиуса — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки тетрамино в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «Тетрис» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.

Некоторым хиральным объектам, таким как винт, можно приписать правую или левую ориентацию, в соответствии с правилом правой руки.

Хиральность и группы симметрии[править | править вики-текст]

Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда её группа симметрий содержит хотя бы одну изометрию, меняющую ориентацию. В евклидовой геометрии любая изометрия имеет вид v\mapsto Av+b, где A — ортогональная матрица, а b — вектор. Определитель матрицы A равен 1 или −1. Если он равен −1, то изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.

Хиральность в трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

В трёхмерном пространстве любая фигура, обладающая плоскостью симметрии или центром симметрии ахиральна. Однако, существуют ахиральные фигуры, не обладающие ни центром, ни плоскостью симметрии, например:

F_0=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}

Эта фигура инвариантна относительно меняющего ориентацию преобразования (x,y,z)\mapsto(-y,x,-z) и поэтому ахиральна, но не обладает ни плоскостью, ни центром симметрии. Фигура

F_1=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}

также ахиральна, так как начало координат является для неё центром симметрии, но у неё нет плоскости симметрии.

Хиральность в двух измерениях[править | править вики-текст]

В двумерном пространстве любая фигура, обладающая осью симметрии, является ахиральной. Можно показать, что любая ограниченная ахиральная фигура обладает осью симметрии. Для бесконечных фигур это не обязательно выполняется. Рассмотрим следующий (конечный) рисунок:

> > > > > > > > > >
 > > > > > > > > > >

Это хиральная фигура, так как она не совпадает со своим зеркальным изображением:

 > > > > > > > > > > 
> > > > > > > > > >

Но если продолжить его вправо и влево до бесконечности, то получится неограниченная ахиральная фигура, не обладающая осью симметрии. Её группа симметрий — это группа бордюра, порождённая единственным скользящим отражением.

Теория узлов[править | править вики-текст]

Узел называется ахиральным, если его можно непрерывно деформировать в его зеркальный образ, в противном случае его называют хиральным. Например, незаузлённый узел и «восьмёрка» ахиральны, в то время как трилистный узел хирален.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]