Множество

Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных).

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Оригинальный текст  (нем.)   Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen. — Георг Кантор, «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (нем. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre»)

$A \subset B$

$A \cap B$

$A \cup B$

$A \setminus B$

Другая формулировка принадлежит Бертрану Расселлу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств.

В математической логике и дискретной математике часто употребляемый синоним множества — алфавит.

Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. Более того, как в наивной, так и в формальной теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

История теории множеств

До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872—1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.

В частности Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A(x)$, обозначил $\{x\mid A(x)\}$. Если некоторое множество $Y=\{x\mid A(x)\}$, то $A(x)$ назвал характеристическим свойством множества $Y$.

Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.

На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

Элемент множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11, 6}.

Некоторые виды множеств и сходных объектов

Специальные множества

• Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
• Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».
• Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Сходные объекты

• Набор (в частности, упорядоченная пара) — совокупность конечного числа именованных объектов. Записывается внутри круглых или угольных скобок, а элементы могут повторяться.
• Мультимножество — множество с кратными элементами.
• Пространство — множество с некоторой дополнительной структурой.
• Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.
• Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов (не обязательно различных), порядок которых имеет значение.
• Нечёткое множество — математический объект, представляющий собой множество, принадлежность к которому представляет собой не отношение, а функцию. Иными словами, относительно элементов этого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.

По иерархии

• Множество множеств
• Подмножество
• Надмножество

Отношения между множествами

Два множества $A$ и $B$ могут вступать друг с другом в различные отношения.

• $A$ включено в $B$, если каждый элемент множества $A$ принадлежит также и множеству $B$:

  $A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B$

• $A$ включает $B$, если $B$ включено в $A$:

  $A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$

• $A$ равно $B$, если $A$ и $B$ включены друг в друга:

  $A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)$

• $A$ строго включено в $B$, если $A$ включено в $B$, но не равно ему:

  $A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)$

• $A$ строго включает $B$, если $B$ строго включено в $A$:

  $A \supset B \Leftrightarrow B \subset A$

• $A$ и $B$ не пересекаются, если у них нет общих элементов:

  $A~$ и $B~$ не пересекаются $\Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B$

• $A$ и $B$ находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству $A$, элемент, принадлежащий исключительно множеству $B$, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

  $A~$ и $B~$ находятся в общем положении $\Leftrightarrow$ $\exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)$

Литература

• Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
• Певзнер Л. Д., Чураков Е. П. Математические основы теории систем — М.: Высш. шк. , 2009. — 503 с: ил.

См. также

• Круги Эйлера
• Носитель
• Теория категорий
• Урэлемент