Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие общей алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел $\mathbb Z$.
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\mathbb{Z}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\mathbb{R}[x,y]$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
• Множество действительных чисел вида $a+b\sqrt{2}$ есть подкольцо поля $\mathbb{R}$, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида $a+bi$, где $a$ и $b$ целые (множество Гауссовых целых).
• Пусть $U$ — связное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$. Тогда кольцо $H(U)$ всех голоморфных функций $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если $K$ — коммутативное кольцо, а $I$ — идеал в $K$, то факторкольцо $K/I$ целостное тогда и только тогда, когда $I$ — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть $a$ и $b$ — элементы целостного кольца $K$. Говорят, что «$a$ делит $b$» или «$a$ — делитель $b$» (и пишут $a\mid b$), если и только если существует элемент $x\in K$ такой, что $ax=b$.

Делимость транзитивна: если $a$ делит $b$ и $b$ делит $c$, то $a$ делит $c$. Если $a$ делит $b$ и $c$, то $a$ делит также их сумму $b+c$ и разность $b-c$.

Для кольца $K$ с единицей элементы $a\in K$, которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в $K$. Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда $a=b*e$, где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент $q$, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент $p$ называется простым, если из того, что $p\mid ab$, следует $p\mid a$ или $p\mid b$. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\mathbb{Z}$, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если $p$ — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал $(p)$ будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если $A$ ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над $A$ также будут областями целостности.
• Если $A$ ― коммутативное кольцо с единицей и $I$ ― некоторый идеал в $A$, то кольцо $A/I$ является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал $I$ прост.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
• Для любой области целостности существует поле частных.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7