Центральная симметрия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Центра́льной симметри́ей (иногда центра́льной инве́рсией) относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через Z_A, в то время как обозначение S_A можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

Формальная запись[править | править вики-текст]

  • Пусть G - оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором \vec{r_A}, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором \vec{x}. Тогда имеет место следующая формула:
    G(\vec{x}) = 2\vec{r_A} - \vec{x}

Связанные определению[править | править вики-текст]

Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.

Общие свойства[править | править вики-текст]

  • В n-мерном если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей, то R - центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей Кроме того:
    • В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.
  • Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 (H_A^{-1}).

Симметрия на прямой[править | править вики-текст]

В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

На плоскости[править | править вики-текст]

На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A (R_A^{180}). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

В трёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

Центральную симметрию в трёхмерном пространстве называют также сферической симметрией.

Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

В четырёхмерном пространстве[править | править вики-текст]

В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.

См. также[править | править вики-текст]