Центрированные полигональные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на k больше точек, чем предыдущий (где центр слоем не считается).

Каждая последовательность может быть представлена как 1 плюс треугольное число, умноженное на число рёбер многоугольника. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Эти серии состоят из

и так далее.

Следующие диаграммы показывают несколько примеров центрированных полигональных чисел и их геометрическое представление. (Сравните эти фигуры с фигурами в разделе Фигурные числа.)

Центрированные квадратные числа
1     5     13     25
* * *
 * 
* *
* * *
 * * 
* * *
 * * 
* * *
* * * *
 * * * 
* * * *
 * * * 
* * * *
 * * * 
* * * *
Центрированные шестиугольные числа
1     7     19     37
* **
***
**
***
****
*****
****
***
****
*****
******
*******
******
*****
****
k = 5

Как видно из приведенных диаграмм, n-ое центрированное k-угольного число может быть получена размещением k копий (n−1)-ых треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, n-ое центрированное k-угольного числа может быть выражено как

C_{k,n} =\frac{kn}{2}(n-1)+1.

Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное k-угольного число есть 1. Поэтому, для любого k, 1 является как k-угольным числом, так и центрированным k-угольным. Следующее число, являющееся как k-угольным, так и центрированным k-угольным, может быть найдено по формуле:

\frac{k^2}{2}(k-1)+1

которая показывает, что 10 является как треугольным, так и центрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так и центрированным четырехугольным.

Несмотря на то, что простое число p не может быть фигурным числом (кроме p-угольного), многие центрированные многоугольные числа являются простыми.

Ссылки[править | править вики-текст]