Центр группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Таблица Кэли Dih4[en]
Центром является {0,7} — строка, начинающаяся с 7 является транспонированием столбца, начинающегося с 7, и элементы строки и столбца симметричны относительно диагонали. (Только для нейтрального элемента это возможно во всех группах.)

Центр группы в теории групп — множество элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:

Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}[1]).

Группа G является абелевой в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: Z(G) = G; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости». Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента.

Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.

Подгрупповые свойства[править | править вики-текст]

Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их обращения.

Центр группы G всегда является нормальной подгруппой G, поскольку он замкнут относительно сопряжения. Более того, центр группы — характеристическая подгруппа, но при этом — не вполне характеристическая подгруппа[en].

Факторгруппа G/Z(G) изоморфна группе внутренних автоморфизмов группы G.

Классы смежности и централизаторы[править | править вики-текст]

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом смежности каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.

Смежность[править | править вики-текст]

Ядро отображения f: G \to \operatorname{Aut}(G), ставящего в соответствие элементу группы g автоморфизм, заданный формулой:

\phi_g(h) = ghg^{-1},

является в точности центром группы G, а образ отображения f называется внутренним автоморфизмом группы G, который обозначается \operatorname{Inn}(G); по первой теореме об изоморфизме имеет место:

G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G).

Коядром отображения f является группа \operatorname{Out}(G) внешних автоморфизмов[en]; таким образом, имеет место точная последовательность:

1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1.

Примеры[править | править вики-текст]

\begin{pmatrix}
 1 & 0 & z\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

Центральные ряды[править | править вики-текст]

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом[en]:

G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots

Ядро отображения G \to G_i — это i-ый центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются Z^i(G). Конкретно, (i+1)-ый центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-ого центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром[en][2].

Возрастающая последовательность подгрупп:

1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots

стабилизируется на i (что означает, Z^i(G) = Z^{i+1}(G)) тогда и только тогда, когда G_i не имеет центра.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Для группы без центра все центры ряда нулевые, что происходит в случае Z^0(G)=Z^1(G).
  • По лемме Грюна[en] факторгруппа совершенной группы[en] по её центру не имеет центра, поскольку все центры более высокого порядка равны центру. Это случай стабилизации Z^1(G)=Z^2(G).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Обозначение Z пришло от нем. Zentrum
  2. Это объединение включает трансфинитные элементы, если ряд верхних центров не стабилизируется за конечное число итераций.

Ссылки[править | править вики-текст]