Цепная гомотопия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебры

[править] Определение

Пусть C — цепной комплекс модулей то есть семейство модулей C_n и модульных гомоморфизмов ; f и g — цепные отображения комплекса C в комплекс C' (то есть такие гомоморфизмы f_n что d_nf_n = f_{n − 1}d_n).

Цепной гомотопией между отображениями f и g называется такое семейство гомоморфизмов , что

s_{n − 1}d_n + d'_{n + 1}s_n = f_n − g_n

то есть следующая диаграмма коммутативна:

[править] Свойства

• Если отображения f и g цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях равны (где ). В самом деле, пусть  — цикл, то есть элемент из . Тогда d_n(c) = 0. Так как f и g цепно гомотопны, то

  f_n(c) − g_n(c) = s_{n − 1}d_n(c) + d'_{n + 1}s_n(c) = d'_{n + 1}s_n(c),

то есть отличаются на границу (элемент ).

• Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

[править] Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

Это незавершённая статья по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.