Цепной комплекс

Цепно́й компле́кс — основное понятие гомологической алгебры.

Цепной комплекс

Цепной комплексом называется последовательность $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ модулей и гомоморфизмов $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$, называемых граничными операторами или дифференциалами,

$\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots$

такая что $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$. Элементы $K_n$ называются n-мерными цепями, элементы ядра $Z_n K=Ker\partial_n$ — n-мерными циклами, элементы образа $B_n K=Im\partial_{n+1}$ — n-мерными границами. Из $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ следует, что $B_n K \subset Z_n K$ (т.н.полуточность). Если к тому же $B_n K = Z_n K$, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с мофизмами $~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet)$, где $\varphi_{\bullet}$ последовательность морфизмов $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$, такая что $\varphi_{n}$ коммутирует с дифференциалом, то есть $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$.

Коцепной комплекс

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ и гомоморфизмов $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$, таких что

$d^{n+1} d^n = 0$

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

$\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots$

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии

n-мерная группа гомологий $H_n$ цепного комплекса $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

$H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}$. Для точного комплекса $H_n=0$

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

$H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1}$

Гомоморфизмы цепных комплексов

Гомоморфизмом цепных комплексов $(A^\bullet , \delta^\bullet)$ и $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ называется такое отображение $f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N,$ что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Цепная гомотопия

Цепная гомотопия $D\colon X \to Y$ между гомоморфизмами комплексов $f$ и $g$ - это такой гомоморфизм цепных комплексов $(X^\bullet, \partial^\bullet)$ и $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ степени +1 (т.е. $D_k \colon X_k \to Y_{k+1}$), для которого

$\delta D + D \partial = g - f$

$\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k$

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
• Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.