Цепь (алгебраическая топология)

Цепь в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии — конструкция, обобщающее понятие многоугольника, используется для определения гомологий пространства и интегрирования дифференциальных форм на нём.

Определение

Криволинейным симплексом называется дважды непрерывно дифференцируемое невырожденное отображение симплекса $\gamma =[p_{0},\ldots ,p_{n}]$ в евклидовом пространстве в топологическое пространство $M$.

Цепью называется элемент свободного модуля над кольцом целых чисел, порождённого множеством симплексов данного топологического пространства, то есть формальная сумма

$\sigma =k_{1}\sigma _{1}+\dots +k_{n}\sigma _{n},~k_{i}\in \mathbb {Z} ,\,n\in \mathbb {N}$

Число $k_{i}$ называется кратностью симплекса $\sigma _{i}$. Сумма цепей определяется как сумма элементов модуля.

Граница $\partial \sigma _{i}$ криволинейного симплекса $\sigma _{i}$ определяется как образ границы симплекса $\gamma _{i}$ под действием отображения $\sigma _{i}$. На произвольные цепи граничный оператор продолжается по линейности, то есть

$\partial \sigma =k_{1}\partial \sigma _{1}+\dots +k_{n}\partial \sigma _{n}$

Связанные определения

• Цикл — это цепь, граница которой равна нулю.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.