Цилиндрическая система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точка в цилиндрических координатах.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка P даётся как (\rho,\;\varphi,\;z). В терминах прямоугольной системы координат:

  • \rho\geqslant 0 — расстояние от O до P', ортогональной проекции точки P на плоскость XY. Или то же самое, что расстояние от P до оси Z.
  • 0\leqslant\varphi<360^\circ — угол между осью X и отрезком OP'.
  • z равна аппликате точки P.

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения (\rho,\;\varphi,\;z).

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось Z взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение x^2+y^2=c^2, а в цилиндрических — очень простое уравнение \rho=c. Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Переход к другим системам координат[править | править вики-текст]

2 точки в цилиндрических координатах.

Поскольку цилиндрическая система координат — только одна из многих трёхмерных систем координат, существуют законы преобразования координат между цилиндрической системой координат и другими системами.

Декартова система координат[править | править вики-текст]

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

\begin{cases}
x=\rho\cos\varphi, \\
y=\rho\sin\varphi, \\
z=z.
\end{cases}

Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

\begin{cases}
\rho=\sqrt{x^2+y^2}, \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right), \\
z=z.
\end{cases}

Якобиан равен:

J=\rho.

Дифференциальные характеристики[править | править вики-текст]

Цилиндрические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g_{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & 1/\rho^2 & 0\\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
  • Квадрат дифференциала длины кривой
ds^2=d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2.
H_\rho=1,\quad H_\varphi=\rho,\quad H_z=1.
\Gamma^1_{22}=-r,\quad\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}.

Остальные равны нулю.

Дифференциальные операторы[править | править вики-текст]

Градиент в цилиндрической системе координат:

\mathrm{grad}\,\psi=\vec e_\rho\frac{\partial\psi}{\partial\rho}+\vec e_\varphi\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\varphi}+\vec e_z\frac{\partial\psi}{\partial z}.

Дивергенция в цилиндрической системе координат:

\mathrm{div}\,\vec a=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\rho}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial a_z}{\partial z}.

Ротор в цилиндрической системе координат:

\mathrm{rot}\,\vec a=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho}\vec e_\rho & \vec e_\varphi & \frac{1}{\rho}\vec e_z \\ 
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\varphi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 
a_\rho & \rho a_\varphi & \ a_z
\end{pmatrix} = 
\vec e_\rho\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_z}{\partial\varphi}-\frac{\partial a_\varphi}{\partial z}\right)+
\vec e_\varphi\left(\frac{\partial a_\rho}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial\rho}\right)+
\vec e_z\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho a_\varphi}{\partial\rho}-\frac{1}{\rho}\frac{\partial a_\rho}{\partial\varphi}\right).

См. также[править | править вики-текст]