Циркулянт

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Циркулянт — это матрица вида


C = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
a_n & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_2 & a_3 & \cdots & a_1 \\
\end{pmatrix}

Циркулянт можно также кратко описать как (a_{j-i+1})_{i,j=1}^n, где индексы вычисляются по модулю n.

Определитель[править | править вики-текст]

Обозначим \zeta — первообразный корень из единицы степени n. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта C:

 \operatorname{det} C =\prod\limits_{k=0}^{n-1}(a_0+a_1\zeta^k+\ldots+a_{n-2}\zeta^{k(n-2)}+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)})


Примеры

Для n=2 определитель циркулянта равен:

 \operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 \\
a_2 & a_1
\end{pmatrix}
=(a_1-a_2)(a_1+a_2).

Для n=3, \omega^3=1, \omega\neq 1:

 \operatorname{det}
\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
a_3 & a_1 & a_2 \\
a_2 & a_3 & a_1
\end{pmatrix}
=(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2\omega +a_3\omega^2)(a_1+a_2\omega^2 +a_3\omega).

Антициркулянт[править | править вики-текст]

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:


\begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
a_2 & a_3 & \cdots & a_1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\
\end{pmatrix}

Антициркулянт перестановками строк приводится к циркулянту.

Ссылки[править | править вики-текст]