Циссоида Диокла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения[править | править вики-текст]

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=
=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=
=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).

Параметрическое уравнение циссоиды:

x=\frac{2a}{1+u^2},
y=\frac{2a}{u(1+u^2)},

где

u=\mathrm{tg}\,\varphi.

История[править | править вики-текст]

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Особенности кривой[править | править вики-текст]

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту UV, уравнение которой: x=2a, где a — радиус вспомогательной окружности.

Площадь между циссоидой и асимптотой[править | править вики-текст]

Эта площадь равна:

S_1=3\pi a^2.

Объём тела вращения[править | править вики-текст]

Объём (V_1) тела, образованного при вращении ветви OL вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=
=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=
=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.

Если x\to 2a, то \ln(2a-x)\to-\infty, то есть V_1\to\infty.