Частичный предел последовательности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Определения[править | править вики-текст]

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно ~+\infty или ~-\infty.

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

Обозначения[править | править вики-текст]

Нижний предел последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}:

  • \varliminf_{n \to \infty} x_n (в отечественной литературе);


  • \liminf_{n \to \infty} x_n (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}:

  • \varlimsup_{n \to \infty} x_n (в отечественной литературе);


  • \limsup_{n \to \infty} x_n (в иностранной литературе).

Примеры[править | править вики-текст]

  • \varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0


  • \varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1


  • \varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1


  • \nexists \varliminf_{n \to \infty} n, \nexists \varlimsup_{n \to \infty} n (в другой терминологии оба предела равны ~+\infty)

Свойства[править | править вики-текст]

  • Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
  • У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать ~-\infty и ~+\infty допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
  • Числовая последовательность ~\{x_n\} сходится к ~a тогда и только тогда, когда \varliminf_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{x_{n}}=a.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа ~\varepsilon все элементы ограниченной числовой последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, начиная с некоторого номера, зависящего от ~\varepsilon, лежат внутри интервала \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right).
  • Если за пределами интервала \left( a, b \right) лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, то интервал \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right) содержится в интервале \left( a, b \right).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 92 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.