Частная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f в точке (a_1,a_2,\ldots, a_n) определяется следующим образом:

\frac{\partial f}{\partial x_k}(a_1,\cdots , a_n)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_k+\Delta x,\ldots,a_n)-f(a_1,\ldots,a_k,\ldots,a_n)}{\Delta x}.
График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.
Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1

Обозначение[править | править вики-текст]

Следует обратить внимание, что обозначение \frac{\partial f}{\partial x} следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной \frac{d f}{d x}, которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{d_x f}{d x}, где d_x f частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа \frac{\partial f}{\partial x} является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение \partial x в выражении \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}. [1].

Геометрическая интерпретация[править | править вики-текст]

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке \vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0) по координате x_k равна производной \frac{\partial f}{\partial \vec{e}} по направлению \vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0), где единица стоит на k-ом месте.

Примеры[править | править вики-текст]

Объем конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

V = \frac{\pi r^2 h}{3},

Частная производная объема V относительно радиуса r

\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус меняется, а его высота остается неизменной. Например, если считать единицы измерения объема m^3, а измерения длины m, то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объема m^3/m, т.е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объема конуса на \frac{ 2 \pi r h}{3} m^3.

Частная производная относительно h

\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{\pi r^2}{3},

которая показывает скорость, с которой изменяется объем конуса, если его высота меняется, а его радиус остается неизменным.

Полная производная V относительно r и h

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}

и

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{\operatorname d r}{\operatorname d h}

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

k = \frac{h}{r} = \frac{\operatorname d h}{\operatorname d r}.

Это дает полную производную относительно r:

\frac{\operatorname dV}{\operatorname dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + k\frac{\pi r^2}{3}

Уравнения, в которые входят частные производные, называются дифференциальными уравнениями в частных производных и широко известны в физике, инженерии и других науках и прикладных дисциплинах.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»