Частная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 16 октября 2008, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 4 правки.

Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Для функции $f(x_1,\ldots,x_n)$ от $n$ переменных, частная производная по $x k$ в точке $(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ есть обычная производная функции одной переменной $g(x_k)\stackrel{\mathrm{def}}{=}f(x_1^0,\ldots,x_{k-1}^0,x_k,x_{k+1}^0,\ldots,x_n^0)$ , получающейся из функции $f$ , если мы зафиксируем в ней все аргументы, кроме $x k$ .

В явном виде частная производная функции $f$ определяется следующим образом:

$\frac{\partial f}{\partial x_k}=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_1,\ldots,x_k+\Delta x,\ldots,x_n)-f(x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n)}{\Delta x}.$

Следует обратить внимание, что обозначение $\frac{\partial f}{\partial x}$ следует понимать как цельный символ, в отличии от обычной производной функции одной переменной $\frac{d f}{d x}$ , которую можно представить как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать по какой переменной осуществляется приращение функции: $\frac{\partial f}{\partial x} \equiv \frac{d_x f}{d x}$ , где $d x f$ - частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа $\frac{\partial f}{\partial x}$ является причиной ошибок и недорозумений, как например сокращение $\partial x$ в выражении $\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}$ . (подробнее см. Фихтенгольц, "Курс дифференциального и интегрального исчисления").

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции $f$ в точке $\vec{x}{\,}^0=(x_1^0,\ldots,x_n^0)$ по координате $x k$ равна производной $\frac{\partial f}{\partial \vec{e}}$ по направлению $\vec{e}=\vec{e}{\,}^k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ , где единица стоит на $k$ -ом месте.