Четверная группа Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Часто обозначается V или V_{4} (от нем. Vierergruppe — четверная группа).

Определение[править | править вики-текст]

Бинарная операция между элементами четверной группы Клейна задается следующей таблицей Кэли[1]:

a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}
a_{0} a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}
a_{1} a_{1} a_{0} a_{3} a_{2}
a_{2} a_{2} a_{3} a_{0} a_{1}
a_{3} a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}

Здесь a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} — элементы четверной группы Клейна. В этой таблице в первом столбце указан первый участник бинарной операции, в первой строке указан второй участник бинарной операции, на пересечении строки и столбца (белый фон) находится результат бинарной операции, задающей группу.

Как видно из таблицы, элемент a_{0} является единицей группы. Группа Клейна является конечной коммутативной группой. Порядок каждого её элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.


Значение в математике[править | править вики-текст]

Является прямым произведением циклических групп второго порядка C_{2} × C_{2}. Представляет собой простейшую группу диэдра (D_{2})[2].

Является наименьшей по порядку нециклической группой.

Любая группа четвертого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна.

Симметрическая группа S_{4} имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу A_{4} и четверную группу Клейна D_{2}, состоящую из подстановок ( ), (12)(34), (13)(24), (14)(23)[2].

Данная группа встречается и во многих других разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:

  • Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.
  • Группа самосовмещений или поворотов ромба (в пространстве)[3].
  • Группа поворотов тетраэдра на угол \pi вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].

История[править | править вики-текст]

Была введена в математику Феликсом Клейном в 1884 г.[5]


Примечания[править | править вики-текст]

  1. П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;
  2. 1 2 Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10
  3. П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;
  4. П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;
  5. Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.;