Четырнадцатая проблема Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.[1]

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример[1]. Им была построена[2] подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена[1] Стейнбергом в его работе[3] 1997 года.

Формулировки[править | править исходный текст]

Исходная формулировка Гильберта[править | править исходный текст]

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций X_1,...,X_m от переменных x_1,\dots,x_n:


\left. \begin{array}{c} 
X_1 = f_1(x_1,\dots,x_n)\\
X_2 = f_2(x_1,\dots,x_n)\\
\vdots\\
X_m = f_m(x_1,\dots,x_n)
\end{array} \right\} \qquad \qquad (S)

Всякая целая рациональная связь между X_1,\dots,X_m, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от x_1,\dots,x_n. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от X_1,\dots,X_m, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от x_1,\dots, x_n. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от X_1,\dots,X_m. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от X_1,\dots,X_m, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>[4]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры K\bigcap k[x_1,\dots,x_n], где K — порождённое X_1,\dots, X_n поле. Поскольку всякое промежуточное поле k\subset K\subset k(x_1,\dots,x_n) является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть K\subset k[x_1,\dots,x_n] — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра K\bigcap k[x_1,\dots,x_n] конечно порождена?[1]

Конечная порождённость алгебры инвариантов[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 Записки курса И.Аржанцева «Алгебры инвариантов и 14 проблема Гильберта»
  2. M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
  3. R. Steinberg, Nagata’s example. In: «Algebraic Groups Lie Groups», Austral. Math. Soc. Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375—384.
  4. Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 45-47. — 240 с. — 10 700 экз.