Четырёхимпульс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четырёхи́мпульс[1][2], 4-и́мпульс — 4-вектор энергии-импульса, релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора импульса (количества движения) на четырёхмерное пространство-время. Три компоненты классического вектора импульса \vec {p} = (p_x, p_y, p_z) материальной точки при этом становятся тремя пространственными компонентами вектора четырёхимпульса. Временно́й компонентой вектора четырёхимпульса является (с точностью до множителя) полная энергия материальной точки.


p^\mu=
\begin{pmatrix}
p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
E/c \\ \vec p 
\end{pmatrix}.

Четырёхимпульс полезен при релятивистских расчётах, поскольку он является контравариантным вектором Лоренца (четырёхвектором) и, следовательно, при переходе в другую инерциальную систему отсчёта его компоненты изменяются в соответствии с преобразованиями Лоренца.

Квадрат четырёхимпульса[править | править вики-текст]

4-импульс и масса

Квадрат вектора четырёхимпульса точечной частицы является скалярным инвариантом, равным (с точностью до множителя \! c^2) квадрату массы частицы:

\! p^2 =  g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu = m^2c^2,

где c — скорость света, индексы \mu,\nu = 0,...,3;\quad используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.

Матрица g, входящая в скалярное произведение 4-вектора p на самого себя, является метрическим тензором пространства-времени. В специальной теории относительности используется метрика Минковского, особый вид матрицы \! g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}, отвечающий плоскому (неискривлённому) пространству-времени:

\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}; в этом случае m^2c^2 = {E^2 \over c^2} - |\vec p|^2

Таким образом, в СТО масса частицы не меняется при лоренцевских преобразованиях. Модуль четырёхимпульса |p| = \sqrt{p^2} = mc для реальных частиц всегда неотрицателен (то есть 4-импульс всегда времениподобен или светоподобен; он мог бы быть отрицательным для гипотетических тахионов, движущихся быстрее света). Четырёхимпульс фотонов и других безмассовых частиц имеет нулевой модуль, для массивных частиц модуль положителен. В зависимости от соглашения о сигнатуре, модуль 4-импульса может быть определён с противоположным знаком.

Отношение к четырёхскорости[править | править вики-текст]

Для массивной частицы 4-импульс равен произведению её массы на четырёхскорость

p^\mu = m \, U^\mu\!,

где 4-скорость есть вектор


U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}=
\begin{pmatrix}
U^0 \\ U^1 \\ U^2 \\ U^3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\gamma c \\ \gamma v^x \\ \gamma v^y \\ \gamma v^z 
\end{pmatrix},

а величина \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} — это фактор Лоренца и d\tau — собственное время частицы.


Канонический импульс в пространстве в присутствии электромагнитного потенциала[править | править вики-текст]

Для применения в релятивистской квантовой механике целесообразно определить «канонический» четырёхимпульс Pμ, который представляет собой сумму четырёхимпульса частицы и произведения её электрического заряда на четырёхвекторный потенциал электромагнитного поля:

 P_{\mu} = p_{\mu} + q A_{\mu} \!,

где 4-потенциал является результатом комбинирования скалярного потенциала \varphi и 3-векторного потенциала \vec{A}:


\begin{pmatrix}
A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\varphi \\ -A_x \\ -A_y \\ -A_z 
\end{pmatrix}.

Это указывает на потенциальную энергию заряженных частиц в электростатическом потенциале и на силу Лоренца, которая управляет движением заряженных частиц в магнитном поле, давая возможность включить их в уравнение Шрёдингера.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фейнмановские лекции по физике. Т. 2. Гл. 17. Пространство-время. Алгебра четырехвекторов.
  2. ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.04.23 «Физика высоких энергий» по техническим и физико-математическим наукам.