Числа Армстронга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.

Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальное определение[править | править вики-текст]

Пусть n = \sum_{i = 1}^k d_ib^{i - 1} — число, записываемое d_kd_{k-1}... d_1 в системе счисления с основанием b.

Если при некотором m случится так, что n = \sum_{i = 1}^k {d_i}^m, то n является m-самовлюблённым числом. Если, сверх того, m=k, то n можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом m может существовать лишь конечное число m-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого k k \cdot 9^k < 10^{k-1} - 1.

Упоминания в литературе[править | править вики-текст]

В «Апологии математика (англ.)русск.» (англ. A Mathematician’s Apology), Г. Харди (англ.)русск. писал:

«Есть только четыре числа, исключая единицу, которые равны сумме кубов своих цифр:
153=1^3+5^3+3^3
370=3^3+7^3+0^3
 371=3^3+7^3+1^3
и 407=4^3+0^3+7^3.

Это необычный факт, очень удобный для головоломных разделов в газетах и для развлечения любителей, но в нём нет ничего, что бы привлекало к нему математиков»

Числа Армстронга в различных системах счисления[править | править вики-текст]

  • В промежутке 1<= N <= 11 находится следующие 35 чисел Армстронга:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651 (последовательность A005188 в OEIS).

  • В системе с основанием 3:

0, 1, 2, 12, 122, …

  • В системе с основанием 4:

0, 1, 2, 3, 313, …

Похожие классы чисел[править | править вики-текст]

Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и т. п.

Литература[править | править вики-текст]

  • Joseph S. Madachy, Mathematics on Vacation, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, стр. 163—175.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]