Числа Каллена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида n \cdot 2^n + 1 (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

Свойства[править | править вики-текст]

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых n \leq x, для которых Cn простое, есть o(x) для x\to\infty. В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел n \cdot 2^{n+a} + b где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было 6679881 \cdot 2^{6679881} + 1. Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.[1]

Числа Каллена Cn делятся на p=2n-1, если p простое число вида 8k-3. Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(k) для каждого m(k) =(2^k-k)(p-1)-k (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит C_{(p+1)/2}, когда символ Якоби \left(\frac{2}{p}\right) есть −1, и что p делит C_{(3p-1)/2}, когда символ Якоби \left(\frac{2}{p}\right) есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.

Обобщения[править | править вики-текст]

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида n \cdot b^n + 1, где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было 427194 \cdot 113^{427194} + 1. Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.[2]

Ссылки[править | править вики-текст]

Дальнейшее чтение[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]