Числа Каталана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру.

Первые несколько чисел Каталана:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)

Определения[править | править вики-текст]

n-е число Каталана \,\! C_n можно определить одним из следующих способов:

Например, для n=3 существует 5 таких последовательностей:
((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())
то есть C_3=5.

Свойства[править | править вики-текст]

Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w=(w1)w2, где w1, w2 — правильные скобочные последовательности.
Также существует более простое рекуррентное соотношение:
  • C_0 = 1\,\! и \qquad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n
Другими словами, число Каталана C_n равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]