Числа Люка

Не следует путать с последовательностями Люка.

Числа Люка задаются рекуррентной формулой

$L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$

с начальными значениями $L_0 = 2$ и $L_1 = 1$.

Последовательность чисел Люка начинается так:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (последовательность A000032 в OEIS)

Формула общего члена

Последовательность $L_n$ можно выразить как функцию от n:

$L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,$

где $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение.

Связь с числами Фибоначчи

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами

• $\,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}=F_n+2F_{n-1}$
• $\,L_{m+n} = L_{m+1}F_{n}+L_mF_{n-1}$
• $\,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n$, и при стремлении $n\,$ к +∞ отношение $\frac{L_n}{F_n}$ стремится $\sqrt{5}.$
• $\,F_{2n} = L_n F_n$
• $\,F_{n+k} + (-1)^k F_{n-k} = L_k F_n$
• $\,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

Другие свойства

Для $n>1$ величина $(-\varphi)^{-n}$ меньше 1/2, $L_n$ - ближайшее целое к $\varphi^n$ или, что эквивалентно, $L_n$ - это целая часть $\varphi^n+1/2$, что можно записать как $\lfloor \varphi^n+1/2 \rfloor$.

Обобщения

Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:

$L_{-n} = (-1)^n L_n$

Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи», частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка

$\begin{matrix} F_n = U_n(1,-1) \\ L_n = V_n(1,-1) \end{matrix}$