Числа Стирлинга первого рода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок порядка n с k циклами.

Определение[править | править вики-текст]

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

(x)_{n} = \sum_{k=0}^n s(n,k) x^k,

где (x)_nсимвол Похгаммера (убывающий факториал):

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения, называемые числами Стирлинга первого рода без знака, задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.

Рекуррентное соотношение[править | править вики-текст]

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

 s(0, 0) = 1 ,
 s(n, 0) = 0 , для n > 0,
 s(0, k) = 0 , для k > 0,
для чисел со знаком:  s(n, k) = s(n-1, k-1) - (n-1) \cdot s(n-1, k) для 0 < k < n.
для чисел без знака:  s(n, k) = s(n-1, k-1) + (n-1) \cdot s(n-1, k) для 0 < k < n.
Доказательство.

Для n=1 это равенство проверяется непосредственно. Пусть перестановка (n-1)-го порядка распадается на k циклов. Число n можно добавить после любого числа в соответствующий цикл. Все полученные перестановки различны и содержат k циклов, их количество (n-1)·s(n-1, k). Из любой перестановки (n-1)-го порядка, содержащей k-1 цикл, можно сформировать единственную перестановку n порядка, содержащую k циклов, добавив цикл образованный единственным числом n. Очевидно, что эта конструкция описывает все перестановки n-го порядка, содержащие k циклов. Тем самым равенство доказано.

Пример[править | править вики-текст]

Первые ряды:

n\k 0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 0 1
2 0 −1 1
3 0 2 −3 1
4 0 −6 11 −6 1
5 0 24 −50 35 −10 1
6 0 −120 274 −225 85 −15 1

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]