Числа Ферма

Числа Ферма — числа вида $F_n=2^{2^n}+1$, где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, … (последовательность A000215 в OEIS)

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа $F_5$ на простые делители:

$F_5 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417$

Свойства

• Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^r\cdot p_1\cdot p_2\cdots p_k$, где $p_i$ — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Среди чисел вида $2^n+1$ простыми могут быть только числа Ферма (т.е. n обязано быть степенью 2-ки). Действительно, если у n есть нечётный делитель $d>1$ и $n/d=m$, то по теореме Безу:

$2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}),$

и поэтому $2^n+1$ не является простым.

• Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
• На январь 2012 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
• Известно, что $F_n$ являются составными при $5 \le n \le 32$.
• Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 7.
• Каждый делитель числа $F_n$ при $n>2$ имеет вид $k \cdot 2^{n+2} + 1$ (Эйлер, Люка, 1878).

Разложение на простые

$F_0=2^{2^0}+1=2^1+1 = 3$

$F_1=2^{2^1}+1=2^2+1 = 5$

$F_2=2^{2^2}+1=2^4+1 = 17$

$F_3=2^{2^3}+1=2^8+1 = 257$

$F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1 = 65537$

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4294967297 = (5 \cdot 2^{5+2}+1) \cdot (52347 \cdot 2^{5+2}+1) = 641 \cdot 6700417$

$F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1 = 18446744073709551617 = (1071 \cdot 2^{6+2}+1) \cdot (262814145745 \cdot 2^{6+2}+1) = 274177 \cdot 67280421310721$

$\begin{array}{lll}F_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1 & = & 340282366920938463463374607431768211457 =\\ & = & (116\,503\,103\,764\,643 \cdot 2^{7+2}+1) \cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685 \cdot 2^{7+2}+1) =\\ & = & 59\,649\,589\,127\,497\,217 \cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721\end{array}$

$\begin{array}{lll}F_8=2^{2^8}+1=2^{256}+1 & = & 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\ & = & (3853149761 \cdot 157 \cdot 2^{8+3}+1) \cdot \\ && (1057372046781162536274034354686893329625329 \cdot 31618624099079 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2^{8+3}+1) =\\ & = & 1238926361552897 \cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321\end{array}$

Обобщённые числа Ферма

Обобщённые числа Ферма — числа вида $a^{2^n} + b^{2^n}$. Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для a = 2 и b = 1.

Ссылки

• Леонид Дурман «Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: начало, продолжение, окончание». Компьютерра, №№ 393-395, 2001.
• Делители чисел Ферма (англ.)
• Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)