Численное интегрирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Определённый интеграл как площадь фигуры

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых $x = a$ и $x = b$ , где $a$ и $b$ — пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

[править] Одномерный случай

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида

$I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i),$

где $n\,\!$ — число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки $x_i\,\!$ называются узлами метода, числа $w_i\,\!$ — весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

[править] Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке $\left[ {a},{b} \right]$ . Этот отрезок делится точками $x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n$ на $n\,\!$ равных отрезков длиной $\Delta {x} = \frac{b-a}{n}.$ Обозначим через $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n$ значение функции $f\left(x\right)$ в точках $x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n.$ Далее составляем суммы $y_0 \,\Delta {x} + y_1 \,\Delta {x} + \ldots + y_{n-1} \,\Delta {x} + y_n \,\Delta {x}.$ Каждая из сумм — интегральная сумма для $f\left(x\right)$ на $\left[ {a},{b} \right]$ и поэтому приближённо выражает интеграл

$\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_0 + y_1 + \ldots + y_{n-1}).$

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула

$\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_1 + y_2 + \ldots + y_n)$

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок $\left[ {a},{b} \right]$ , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

[править] Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

$~I_i \approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2} (x_{i}-x_{i-1})$

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

$~\left| R_{i} \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2,i}\,,$ где $M_{2,i}=\max_{x\mathcal{2}[x_{i-1},x_i]} \left| f''(x) \right|$

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины $h$ :

$~I \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right),$ где $h=\frac{b-a}{n}$

Погрешность формулы трапеций:

$~\left| R \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2}\,,$ где $M_{2}=\max_{x\mathcal{2}[a,b]} \left| f''(x) \right|$

[править] Метод парабол (метод Симпсона)

Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

$I \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ .

Если разбить интервал интегрирования на $2 N$ равных частей, то имеем

$I \approx \frac{b-a}{6N}\left(f_0 + 4 \left(f_1 + f_3 + \ldots +f_{2N-1}\right) + 2 \left(f_2 + f_4 + ... +f_{2N-2}\right) + f_{2N}\right),$

где $f_i = f\left(a+\frac{(b-a)i}{2N}\right)$ .

[править] Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

[править] Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции $f (x)$ , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

$I \approx \frac{b-a}{2}\left(f\left(\frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right)+f\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2\sqrt{3}} \right) \right)$ .

В общем случае, используя $n$ точек, можно получить метод с порядком точности $2 n - 1$ . Значения узлов метода Гаусса по $n$ точкам являются корнями полинома Лежандра степени $n$ .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

[править] Метод Гаусса-Кронрода

Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в несколько раз при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла

$I \approx \sum_{i=1}^{n} a_i\, f(x_i) + \sum_{i=1}^{n+1} b_i\, f(y_i)$ ,

где $x i$ — узлы метода Гаусса по $n$ точкам, а $3 n + 2$ параметров $a i$ , $b i$ , $y i$ подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен $3 n + 1$ .

Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

$\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^{1.5}$ ,

где $I G$ — приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по $n$ точкам. Библиотеки gsl и SLATEC для вычисления определённых интегралов содержат подпрограммы, использующие метод Гаусса-Кронрода по 15, 21, 31, 41, 51 и 61 точкам.

[править] Метод Чебышёва

[править] Интегрирование при бесконечных пределах

Для интегрирования по бесконечным пределам нужно ввести неравномерную сетку, шаги которой нарастают при стремлении к бесконечности, либо можно сделать такую замену переменных в интеграле, после которой пределы будут конечны. Аналогичным образом можно поступить, если функция особая на концах отрезка интегрирования

См. в том числе Метод Самокиша

[править] Методы Монте-Карло

Основная статья: Метод Монте-Карло#Интегрирование методом Монте-Карло

[править] Методы Рунге-Кутты

Основная статья: Метод Рунге-Кутты#Интегрирование методом Рунге-Кутты

[править] Многомерный случай

В небольших размерностях можно так же применять квадратурные формулы, основанные на многочленах Лагранжа. Однако в больших размерностях эти методы становятся неприемлемыми из-за быстрого возрастания числа точек сетки и/или сложной границы области. В этом случае применяется метод Монте-Карло. Генерируются случайные точки в нашей области и усредняются значения функции в них. Так же можно использовать смешанный подход — разбить область на несколько частей, в каждой из которых (или только в тех, где интеграл посчитать не удаётся из-за сложной границы) применить метод Монте-Карло.

[править] Литература

ISBN 5-03-003392-0 Д.Каханер, К.Моулер, С.Нэш. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

ISBN 5-02-013996-3 Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.-13-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1985. — 432 с.

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Численное интегрирование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Одномерный случай

[править] Метод прямоугольников

[править] Метод трапеций

[править] Метод парабол (метод Симпсона)

[править] Увеличение точности

[править] Метод Гаусса

[править] Метод Гаусса-Кронрода

[править] Метод Чебышёва

[править] Интегрирование при бесконечных пределах

[править] Методы Монте-Карло

[править] Методы Рунге-Кутты

[править] Многомерный случай

[править] Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках