Числа Белла

В комбинаторике числом Белла $B_n$ называется число всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества, при этом по определению полагают $B_0 = 1$.

Численные значения

Значения чисел Белла $B_n$ для $n=0,1,2,\dots$ образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (последовательность A000110 в OEIS)

Явные формулы

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

$B_n = \sum_{m=0}^n S(n,m)$

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

$B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$.

Числа Белла можно задать в рекуррентном виде:

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k$.

Производящая функция

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}$.