Число Бетти

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Числа Бетти — последовательность инвариантов топологического пространства. Каждому пространству X соответствует некая последовательность чисел Бетти \beta_0(X),\beta_1(X),\dots.

  • Нулевое число Бетти \beta_0(X) совпадает с числом связных компонент;
  • Первое число Бетти \beta_1(X) интуитивно представляет собой максимальное число разрезов этого пространства, которые можно сделать без увеличения числа компонент связности.

Число Бетти может принимать неотрицательные целые значения или бесконечность. Для разумно устроенного конечномерного пространства (например, компактного многообразия или конечного симплициального комплекса), все числа Бетти конечны и, начиная с некоторого номера, равны нулю.

Термин «числа Бетти» был введен Анри Пуанкаре, который назвал их в честь итальянского математика Энрико Бетти.

Определение[править | править исходный текст]

  • k-е число Бетти \beta_k(X)= rank H_k(X),

где H_k(X) — kгруппа гомологий пространства X, которая является абелевой, rank обозначает ранг этой группы.

Эквивалентно, можно определить его как размерность векторного пространства Hk(X; Q), поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством над Q:

  • \beta_k(X)= dim Hk(X; Q)

Эквивалентность этих определений в простых случаях показывает теорема об универсальных коэффициентах.

В более общих случаях для данного поля F можно определить \beta_k(X,F), k-е число Бетти с коэффициентами в F, как размерность векторного пространства Hk(X, F).

Связанные определения[править | править исходный текст]

Первое число Бетти в теории графов[править | править исходный текст]

В топологической теории графов первое число Бетти графа G с n вершинами, m ребрами и k компонентами связности равно

\beta_1(G) = m - n + k.\

Это может быть доказано непосредственно математической индукцией по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов либо уменьшает число компонент связности.

Первое число Бетти графа совпадает с цикломатическим числом этого графа.

Свойства[править | править исходный текст]

P_{X\times Y}=P_X P_Y , \,

Примеры[править | править исходный текст]

  1. Последовательность чисел Бетти для окружности S^1: 1, 1, 0, 0, 0, …;
    многочлен Пуанкаре: 1 + x.
  2. Последовательность чисел Бетти для двумерного тора T^2: 1, 2, 1, 0, 0, 0, …;
    многочлен Пуанкаре: 1+2x+x^2=(1+x)^2.
  3. Последовательность чисел Бетти для трехмерного тора T^3: 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … .
    многочлен Пуанкаре: 1+3x+3x^2+x^3=(1+x)^3.
  4. Аналогично, для n-мерного тора, многочленом Пуанкаре: (1+x)^n, то есть числа Бетти являются биномиальными коэффициентами.
  5. Бесконечномерные пространства могут иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. К примеру, бесконечномерное комплексное проективное пространство имеет последовательность чисел Бетти 1, 0, 1, 0, 1, … периодичную с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, представляя собой бесконечный ряд, который является рациональной функцией:
    \frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+x^6+\dotsb.

Литература[править | править исходный текст]

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989