Число Кэрола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Кэрола — это целое вида 4^n - 2^{n + 1} - 1. Эквивалентная форма — (2^n - 1)^2 - 2.

Несколько первых чисел Кэрола:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 (последовательность A093112 в OEIS).

Числа Кэрола впервые были изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавших числа именем своего друга, Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon).[1][2]

Для n > 2 , двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля, и еще n + 1 последовательных единиц, или в алгебраической форме,

\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 — как 11011111. Разница между 2n-ым простым числом Мерсенна и n-ым числом Кэрола равна 2^{n + 1}. Это дает еще одно Эквивалентное выражение для чисел Кэрола, (2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}. Разница между n-ым Число Кайни и n-ым числом Кэрола равна (n + 2)-ой степенидвух.

Начиная с 7, каждое третье число Кэрола делится на 7. Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, 16127 (A091516).

К июлю 2007 наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, было число для n = 253987, имеющее 152916 знаков.[3][4] Оно было найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-ое простое Кэрола.

7-ое число Кэрола и 5-ое простое число Кэрола, 16127, является также простым, если переставить цифры в обратном порядке.[5] 12-ое число Кэрола и 7-ое простое Кэрола, 16769023, имеет то же свойство.[6]

Ссылки[править | править исходный текст]

Внешние ссылки[править | править исходный текст]