Число Кэрола

Число Кэрола — это целое вида $4^n - 2^{n + 1} - 1$. Эквивалентная форма — $(2^n - 1)^2 - 2$.

Несколько первых чисел Кэрола:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527 (последовательность A093112 в OEIS).

Числа Кэрола впервые были изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавших числа именем своего друга, Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon).

Для n > 2 , двоичное представление n-го числа Кэрола состоит из n − 2 последовательных единиц, единственного нуля, и еще n + 1 последовательных единиц, или в алгебраической форме,

$\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.$

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 — как 11011111. Разница между 2n-ым простым числом Мерсенна и n-ым числом Кэрола равна $2^{n + 1}$. Это дает еще одно Эквивалентное выражение для чисел Кэрола, $(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}$. Разница между n-ым Число Кайни и n-ым числом Кэрола равна (n + 2)-ой степенидвух.

Начиная с 7, каждое третье число Кэрола делится на 7. Таким образом, чтобы число Кэрола было простым числом, его индекс n не может иметь вид 3x + 2 для x > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:

7, 47, 223, 3967, 16127 (A091516).

К июлю 2007 наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, было число для n = 253987, имеющее 152916 знаков. Оно было найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW. Это 40-ое простое Кэрола.

7-ое число Кэрола и 5-ое простое число Кэрола, 16127, является также простым, если переставить цифры в обратном порядке. 12-ое число Кэрола и 7-ое простое Кэрола, 16769023, имеет то же свойство.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Near-Square Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)