Число Понтрягина

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и $\omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\}$ ― разбиение числа $n$, то есть набор натуральных чисел, таких что $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n$.

Рациональное число

$P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])$

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению $\omega$, здесь $p_{i}$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Свойства

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на $H^{n/2}(M)$, $n=dimM$.
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (${\hat {A}}$-род) замкнутого спинорного многообразия $M$, то есть индекс оператора Дирака на $M$.