Число Прота

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел число Прота, названное в честь математика Франсуа Прота (англ.), представляет собой число вида

k \cdot 2^n+1 ,

где k является нечётным положительным целым числом и n — положительное целое число, причём k < 2^n. Без последнего условия все нечётные целые числа больше 1 были бы числами Прота[1].

Числа Прота образуют последовательность:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, … (последовательность A080075 в OEIS)

Простые числа Прота[править | править исходный текст]

Простые числа Прота образуют последовательность:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, … (последовательность A080076 в OEIS)

Простота чисел Прота может проверяться с помощью теоремы Прота,[2] которая утверждает, что число Прота p является простым, только если существует целое a, для которого справедливо следующее сравнение:

a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ \pmod{p}

На июнь 2012 года наибольшим известным простым числом Прота является 19249 \cdot 2^{13018586} + 1.[3] Оно было обнаружено Константином Агафоновым в проекте распределённых вычислений Seventeen or Bust.[4] Это также крупнейшее известное простое число, не являющееся числом Мерсенна.[5]

Связь с другими числами специального вида[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Weisstein, Eric W. Proth Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Weisstein, Eric W. Proth's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, Prime Pages.
  4. Press Release by Seventeen or Bust. 5 May 2007.
  5. Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, Prime Pages.