Число вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

Определение[править | править вики-текст]

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности f:S^1\to S^1 рассматривают его поднятие F:\mathbb{R}\to \mathbb{R} для накрытия окружности прямой S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}. Число сдвига этого поднятия определяется как предел


\tau(F)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n},

где x\in\mathbb{R} — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

\rho(f):=\tau(F) \mod 1 \, \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если h:S^1\to S^1 — отображение степени 1, такое, что f\circ h = h\circ g, где f,g — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения f и g совпадают.
  • Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
  • Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение f — C2-гладкое, а его число вращения \rho(f) иррационально, то f сопряжено повороту на \rho(f).
  • Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение \rho:Homeo(S^1)\to S^1 непрерывно.

Литература[править | править вики-текст]

  • А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.