Число вращения

В теории динамических систем, области математики, число вращения сохраняющего ориентацию гомеоморфизма окружности — среднее "число оборотов за одну итерацию" при длительном итерировании точки. Более точно, это предел отношения (некоторым образом определённого) "числа оборотов" к количеству итераций.

Определение

Для формального определения, вместо гомеоморфизма окружности $f:S^1\to S^1$ рассматривают его поднятие $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ для накрытия окружности прямой $S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. Число сдвига этого поднятия определяется как предел

$\tau(F)=\lim_{n\to\infty} \frac{F^n(x)-x}{n},$

где $x\in\mathbb{R}$ — произвольная точка. Число вращения f тогда определяется как

$\rho(f):=\tau(F) \mod 1 \, \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Свойства

• Число вращения является инвариантом сохраняющего ориентацию топологического сопряжения, и даже полусопряжения отображениями степени 1: если $h:S^1\to S^1$ — отображение степени 1, такое, что $f\circ h = h\circ g$, где $f,g$ — гомеоморфизмы окружности, то числа вращения $f$ и $g$ совпадают.
• Как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально тогда и только тогда, когда у отображения есть периодическая точка.
• Теорема Данжуа утверждает, что, если отображение $f$ — C²-гладкое, а его число вращения $\rho(f)$ иррационально, то $f$ сопряжено повороту на $\rho(f)$.
• Число вращения непрерывно зависит от гомеоморфизма — отображение $\rho:Homeo(S^1)\to S^1$ непрерывно.

Литература

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9