Число обусловленности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В численных методах, число обусловленности характеризует точность решения задачи и является мерой аменабельности этого решения в численном представлении, то есть насколько задача хорошо или плохо обусловлена.

Число обусловленности для оператора[править | править вики-текст]

Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор \,\! A.
Числом обусловленности \,\!\mu(A) (другое обозначение — \,\!Cond(A)) оператора \,\! A называется число

\mu(A) = ||A||\cdot||A^{-1}||

Если оператор \,\! A^{-1} не ограничен, то числом обусловленности оператора \,\! A обычно считают \mu(A) = +\infty

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Рассмотрим линейное уравнение

\,\! Au = f,

где \,\! A — линейный оператор, \,\! f — вектор, \,\! u — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных. Тогда число обусловленности \,\! \mu(A) характеризует, насколько велика будет погрешность решения.

Если число обусловленности оператора \,\! A мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше \,\! \mu(A), тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что \,\! \mu(A) \geqslant 1, то наилучшим числом обусловленности является 1.

Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности[править | править вики-текст]

Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким[править | править вики-текст]

Рассмотрим два линейных уравнения:

\,\! Au = f \qquad \qquad \qquad \qquad \ (1) — «основное» уравнение
\,\! (A + \Delta A)u = f + \Delta f \qquad (2) — «близкое» к нему.

Пусть \,\! A — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства \,\! U.
Пусть операторы \,\! A^{-1}, \Delta A также ограничены, и \,\! ||A^{-1}||\cdot||\Delta A|| < 1.

Пусть \,\! u^* — решение уравнения (1), \,\! u^* + \Delta u — решение уравнения (2).

Тогда     \frac{||\Delta u||}{||u^*||} \leqslant \frac{\mu(A)}{1 - \mu(A)\frac{||\Delta A||}{||A||}} \left(\frac{||\Delta A||}{||A||} + \frac{||\Delta f||}{||f||} \right)