Шар

Запрос «Шар» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

шар

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой.

Ссылки

Математические этюды Мультик про объём шара

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Свойства

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

• $S = \ 4\pi r^2$

• $S = \ \pi d^2$

• $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Доказательство  

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке $\left ( R; 0\right )$. Уравнение окружности этого круга : (x − R)² + y² = R², откуда y² = 2Rx − x².

Функция $y=\sqrt{2Rx-x^2}, x \in (0;R)$ непрерывная, возрастающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

${1 \over 2} V = \pi \int\limits_0^R (2Rx-x^2)dx = \pi \cdot \Bigl. \left ( Rx^2 - \frac {x^3} {3} \right ) \Bigr|_0^R= \pi \cdot ( R^3-\frac {R^3} {3} ) = \frac {2} {3} \pi R^3$

Откуда $V=\frac {4} {3} \pi R^3$Ч. т. д.

• $V = \frac{\pi d^3}{6}$

Доказательство  

$d=2R, V={4 \over 3} \pi R^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом r > 0 называется множество

$B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.$

• Замкнутым шаром с центром в x₀ и радиусом r называется множество

$D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.$

Замечания

Шар радиуса r с центром x₀ также называют r-окрестностью точки x₀.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
• Очевидно, $B_r(x_0) \subset D_r(x_0)$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: $\overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0).$
  • Например: пусть (X,ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.$

Примеры

• Пусть $\mathbb{R}^d$ — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если d = 1 (пространство — прямая), то

$B_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),$

$D_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].$

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если d = 2 (пространство — плоскость), то

  $B_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < r \right\},$

  $D_r((x_0,y_0)) = \left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leq r \right\}$

— открытый и замкнутый диск соответственно.

• если d = 3, то

  $B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},$

  $D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}$

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^d$ метрику следующим образом:

  $\rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.$

Тогда

• если d = 2, то U_r(x₀) — это открытый квадрат с центром в точке x₀ и сторонами длины $\sqrt{2}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если d = 3, то U_r(x₀) — это открытый трёхмерный октаэдр.

Вариации и обобщения

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке $x_0\in X$ и радиусом r > 0 называется множество

$B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.$

• Замкнутым шаром с центром в x₀ и радиусом r называется множество

$D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.$

Замечания

Шар радиуса r с центром x₀ также называют r-окрестностью точки x₀.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
• Очевидно, $B_r(x_0) \subset D_r(x_0)$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: $\overline{B_r(x_0)} \neq D_r(x_0).$
  • Например: пусть (X,ρ) — дискретное метрическое пространство, и X состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого $x\in X$ имеем:

$B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.$

См. также

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой