Шар

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[править | править исходный текст]

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r определяются формулами:

  • S = \ 4\pi r^2
  • S = \ \pi d^2
  • V = \frac{4}{3} \pi r^3
  • V = \frac{\pi d^3}{6}

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[править | править исходный текст]

Пусть дано метрическое пространство (X,\rho). Тогда

  • Шаром (или открытым шаром) с центром в точке x_0\in X и радиусом r>0 называется множество
B_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < r\}.
  • Замкнутым шаром с центром в x_0 и радиусом r называется множество
D_r(x_0) = \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \leqslant r\}.

Замечания[править | править исходный текст]

Шар радиуса r с центром x_0 также называют r-окрестностью точки x_0.

Свойства[править | править исходный текст]

B_1(x) = \{x\},\; \overline{B_1(x)} = \{x\},\; D_1(x) = X.

Примеры[править | править исходный текст]

  • если d=1 (пространство — прямая), то
B_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| < r\} = \left(x_0 - {r}, x_0 + {r}\right),
D_r(x_0) = \{x\in \Bbb R \mid |x - x_0| \le r\} = \left[x_0 - {r}, x_0 + {r}\right].
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если d=3, то
    B_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} < r \right\},
    D_r((x_0,y_0,z_0)) = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} \leq r \right\}
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве \mathbb{R}^d метрику следующим образом:
    \rho(x,y) = \sum\limits_{i=1}^d \|x_i-y_i\|,\quad x = (x_1,\ldots, x_d)^{\top},y=(y_1,\ldots,y_d)^{\top}\in \mathbb{R}^d.
Тогда
  • если d=2, то U_r(x_0) — это открытый квадрат с центром в точке x_0 и сторонами длины \sqrt{2}, расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если d=3, то U_r(x_0) — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки на онлайн калькуляторы[править | править исходный текст]