Точка сочленения

Точкой сочленения (англ. articulation point) в теории графов называется вершина графа, при удалении которой количество компонент связности возрастает. Для обозначения этого понятия также используются термины «разделяющая вершина» и «шарнир».

Определения

Вершина $v$ графа $G$ называется шарниром, если подграф $G_{1}$, полученный из графа $G$ удалением вершины $v$ и всех инцидентных ей рёбер, состоит из большего количества компонент связности, чем исходный граф $G$.

Граф, содержащий два шарнира (вершины 2 и 5) и три блока (12, 2345, 56).

С понятием шарнира также связано понятие двусвязности. Двусвязный граф - связный граф, не содержащий шарниров. Компонента двусвязности - максимальный (по включению) двусвязный подграф исходного графа. Компоненты двусвязности иногда называют блоками.

Рёберным аналогом шарнира является мост. Мостом называется такое ребро графа, в результате удаления которого количество компонент связности в графе возрастает.

Поиск шарниров

Эффективное решение задачи поиска всех шарниров графа основано на алгоритме поиска в глубину.

Пусть дан граф $G$. Через $Adj(v)$ обозначим множество всех вершин графа, смежных с $v$. Предположим, что мы просмотрели граф в глубину, начав с некоторой произвольной вершины. Занумеруем все вершины графа в том порядке, в котором мы в них вошли, и каждой вершине $v$ припишем соответствующий номер $n(v)$. Если в вершину $u$ мы впервые попали из вершины $v$, то вершину $u$ будем называть потомком $v$, а $v$ — предком $u$. Множество всех потомков вершины $v$ обозначим через $Ch(v)$. Через $Low(v)$ обозначим минимальный номер среди всех вершин, смежных с $v$ и с теми вершинами, в которые мы пришли по пути, проходящем через $v$.

Ясно, что величину $Low(v)$ можно вычислить рекурсивно, непосредственно в процессе обхода в глубину: если в настоящий момент рассматривается вершина $v$, и из неё нельзя перейти в ещё не посещённую вершину (т.е. нужно вернуться к предку $v$, или прекратить обход, если $v$ — стартовая вершина), то для всех её потомков $Low$ уже посчитано, а значит, и для неё можно провести соответствующие вычисления по формуле

$Low(v)=\min \left\{\min _{x\in Ch(v)}Low(x),\min _{y\in Adj(v)/Ch(v)}n(y)\right\}.$

Зная величину $Low(v)$ для всех вершин графа, можно однозначным образом определить все его шарниры согласно следующим двум правилам:

1. Стартовая вершина (т.е. та, с которой мы начали обход) является шарниром тогда и только тогда, когда у неё больше одного потомка.
2. Вершина $v$, отличная от стартовой, является шарниром тогда и только тогда, когда у неё есть потомок u такой, что $Low(u)=n(v)$.

В качестве примера рассмотрим применение описанного алгоритма к графу, изображённому на рисунке справа. Числа, которыми помечены вершины, соответствуют одному из возможных вариантов обхода в глубину. При таком порядке у каждой из вершин ровно один потомок, за исключением вершины 6, у которой потомков нет. Стартовая вершина 1 имеет единственного потомка, следовательно, шарниром она не является. Для остальных вершин вычислим значения интересующей нас функции:

$Low(6)=5,Low(5)=2,Low(4)=2,Low(3)=2,Low(2)=1$.

У вершины 2 есть потомок 3, а у 5 потомок 6 — в обоих случаях выполнено искомое соотношение $Low(u)=n(v)$. Следовательно, 2 и 5 являются шарнирами. Других шарниров в этом графе нет.

См. также

• Компонента связности графа

Литература

• В. Е. Алексеев, В. А. Таланов. Графы и алгоритмы. Структуры данных. Модели вычислений. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — ISBN 5-94774-543-7.