Шестнадцатая проблема Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Шестна́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Исходно, проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» (нем. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen).

Сейчас она считается разделяющейся на две похожие проблемы в разных областях математики:

  • Исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей);
  • Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения).

Исходная постановка[править | править вики-текст]

Первая (алгебраическая) часть[править | править вики-текст]

Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая n-го порядка, было определено Гарнаком {Math. Ann., 10 (1876), 189-192}. <...> Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёрной степени в трёхмерном пространстве.[1].

Вторая (дифференциальная) часть[править | править вики-текст]

В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <...>, а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида

\frac{dy}{dx} = \frac{Y}{X} ,

где X, Y — целые рациональные функции n-й степени относительно x,y, или, в однородной записи,


X\left( y \frac{dz}{dt} - z \frac{dy}{dt}\right) + Y \left(z \frac {dx}{dt} - x \frac{dz}{dt} \right) + Z \left(x \frac{dy}{dt} - y \frac{dx}{dt} \right) = 0

где X, Y, Z — целые рациональные однородные функции n-й степени относительно x, y, z, которые и нужно определять как функции параметра t.[1]

История первой части[править | править вики-текст]

К моменту доклада Гильберта, Ньютоном и Декартом были получены[3] топологические описания кривых степени 3 и 4, а доказанная Харнаком теорема позволяла оценить число компонент связности кривой: оно не могло превосходить g+1, где g=\frac{(d-1)(d-2)}{2} — её род.

В докладе, Гильберт сообщил, что

« Что же касается кривых шестого порядка, то я — правда, на довольно сложном пути — убедился, что те 11 ветвей, которые получаются по Харнаку, никогда не расположены все вне друг друга; всегда существует одна ветвь, внутри которой есть ещё одна, и вне которой находятся остальные девять, или наоборот. »

Однако, как было обнаружено[4] в 1970-х годах Д. А. Гудковым, также возможным является случай, когда внутри и вне одной кривой находятся по 5 овалов — случай, который Гильберт считал невозможным. Анализируя свои построения, Гудков высказал гипотезу, утверждавшую для M-многочленов чётной степени сравнимость по модулю 8 эйлеровой характеристики построенной по примеру области с заданным числом (а именно, с k^2 для многочленов степени 2k); в частности, это объясняло, что в трёх реализующихся вариантах степени 6 числа кривых внутри, 1, 5 и 9, идут через 4. При k=3 эта гипотеза была доказана самим Гудковым. В общем случае она была доказана В. И. Арнольдом [5] в ослабленной форме сравнения по модулю 4, а затем В. А. Рохлиным [6][7] в полной общности, при рассмотрении специальным образом построенных четырёхмерных многообразий[4].

Построение различных примеров также привело О. Я. Виро к созданию техники склейки (patchworking), позволяющей «склеивать из кусочков с заданным поведением» алгебраические кривые.


История второй части[править | править вики-текст]

Индивидуальная теорема конечности[править | править вики-текст]

Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать индивидуальная теорема конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика Анри Дюлака[8] и долгое время считалась доказанной.

В 1980-х годах Ю. С. Ильяшенко был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака[9][10], и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991-92 года, когда Ильяшенко[11] и Экаль[12] одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (что изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги).


Стратегия Петровского-Ландиса[править | править вики-текст]

Квадратичные векторые поля[править | править вики-текст]

Ослабленные версии проблемы[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 39. — 240 с. — 10 700 экз.
  2. 1 2 David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Проверено 27 августа 2009. Архивировано из первоисточника 8 апреля 2012.
  3. В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39.
  4. 1 2 В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 43.
  5. В. И. Арнольд, “О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм”, Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 1–9
  6. В. А. Рохлин, “Доказательство гипотезы Гудкова”, Функц. анализ и его прил., 6:2 (1972), 62–64
  7. В. А. Рохлин, “Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта”, Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 58–64
  8. Dulac, H. Sur les cycles limits. Bull. Soc. Math. France, 51: 45–188 (1923); // русский перевод: Дюлак А. О предельных циклах.— М.: Наука, 1980
  9. Ильяшенко Ю. С. О проблеме конечности числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.— УМН, 1982, т. 37, вып. 4, с. 127.
  10. Ю. С. Ильяшенко. «Мемуар Дюлака „О предельных циклах“ и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений», УМН, 40:6(246) (1985), 41-78
  11. Yu. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
  12. J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
  • В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39-45.
  • М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.
  • Ю. С. Ильяшенко, Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В: «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1», М.: МЦНМО, 2004. // Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301—354.
  • Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.