Эйлерова характеристика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства X обычно обозначается \chi(X).

Определения[править | править вики-текст]

где k_i обозначает число клеток размерности i.
Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.
  • Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
    • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.

Эйлерова характеристика полиэдров[править | править вики-текст]

  • Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: \chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для односвязного многогранника верна формула Эйлера:
    \Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2.
Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Теорема Гаусса — Бонне[править | править вики-текст]

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) S без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику \chi(S) с гауссовой кривизной K многообразия:

\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),

где d\sigma — элемент площади поверхности S.

  • Существует обобщение формулы Гаусса-Бонне для двумерного многообразия с краем.
  • Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное римановых многообразий многообразия известная, как Теорема Гаусса — Бонне — Черна или Обобщённая формула Гаусса — Бонне.
  • Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на 2\pi.[1]
  • Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентированные и неориентированные поверхности[править | править вики-текст]

  • Эйлерова характеристика для ориентированной сферы с ручками выражается формулой: \chi(X)=2-2g, где g - число ручек, для неориентированной поверхности формула выглядит, как \chi(X)=2-g.

Величина эйлеровой характеристики[править | править вики-текст]

Название Вид Эйлерова характеристика
Отрезок Complete graph K2.svg 1
Окружность Cirklo.svg 0
Круг Disc Plain grey.svg 1
сфера Sphere-wireframe.png 2
Тор
(произведение двух окружностей)
Torus illustration.png 0
Двойной тор Double torus illustration.png −2
Тройной тор Triple torus illustration.png −4
Проективная поверхность Steiners Roman.png 1
Лист Мёбиуса MobiusStrip-01.png 0
Бутылка Клейна KleinBottle-01.png 0
Две сферы (несвязные) Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 = 4
Три сферы Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png 2 + 2 + 2 = 6

История[править | править вики-текст]

В 1752 году Эйлер[2] опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

~S+H=A+2,

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1899 году Пуанкаре[3] обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},

где A_i — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Practical Polygonal Mesh Modeling with Discrete Gaussian-Bonnet Theorem
  2. L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140–160, 1758. Представлено Санкт-Петербургской Академии 6 апреля 1752 года. Opera Omnia 1(26): 94–108.
  3. H. Poincaré, Sur la généralisation d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, Vol. XI, 6-7.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]