Эйлерова характеристика

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства $X$ обычно обозначается $\chi(X)$.

Определения

• Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

  $\chi=k_0-k_1+k_2-...,$

где $k_i$ обозначает число клеток размерности $i$.

• Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти $b_n$ как знакопеременная сумма:

  $\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...$

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

• Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Свойства

• Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
  • В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.

Эйлерова характеристика полиэдров

• Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: $\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}$ где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для выпуклого многогранника верна формула Эйлера:

  $\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B}=\chi(S^2)=2.$

Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

Теорема Гаусса — Бонне

Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) $S$ без границы существует формула Гаусса — Бонне, связывающая эйлерову характеристику $\chi(S)$ с гауссовой кривизной $K$ многообразия:

$\int\limits_S K\;d\sigma = 2\pi\chi(S),$

где $d\sigma$ — элемент площади поверхности $S$.

• Существует обобщение формулы Гаусса-Бонне для двумерного многообразия с краем.
• Существует обобщение формулы Гаусса — Бонне на чётномерное римановых многообразий многообразия известная, как Теорема Гаусса — Бонне — Черна или Обобщённая формула Гаусса — Бонне.
• Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Бонне, гласящий, что Эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра, делённой на $2\pi$.

• Существует комбинаторные аналоги формулы Гаусса — Бонне.

Ориентированные и неориентированные поверхности

• Эйлерова характеристика для ориентированной сферы с ручками выражается формулой: $\chi(X)=2-2g$, где g - число ручек, для неориентированной поверхности формула выглядит, как $\chi(X)=2-g$.

Величина эйлеровой характеристики

Название	Вид	Эйлерова характеристика
Отрезок		1
Окружность		0
Круг		1
сфера		2
Тор (произведение двух окружностей)		0
Двойной тор		−2
Тройной тор		−4
Проективная поверхность		1
Лист Мёбиуса		0
Бутылка Клейна		0
Две сферы(несвязные)		2 + 2 = 4
Три сферы		2 + 2 + 2 = 6

История

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

$~S+H=A+2,$

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных в XVIII в.

В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу на случай N-мерного многогранника:

$\sum_{i=0}^{N-1}{(-1)}^i A_i =1+{(-1)}^{N-1},$

где $A_i$ — количество i-мерных граней N-мерного многогранника.

Если формально считать сам многогранник своей собственной единственной гранью размерности N, формулу можно записать в более простом виде:

$\sum_{i=0}^{N}{(-1)}^i A_i =1.$

Литература

• Долбилин Н. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. — 2001. — № 5. — С. 7-12.
• Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. И. Н. Веселовского. — М.: Наука, 1967.
• Шашкин Ю. А. Эйлерова характеристика. — М.: Наука, 1984. — Т. 58. — (Популярные лекции по математике).

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера