Эйлерова характеристика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

В алгебраической топологии, эйлерова характеристика есть топологический инвариант (и даже гомотопический инвариант) определённый на большом классе топологических пространств. Обычно эйлерова характеристика пространства $X$ обозначается $χ(X)$ .

Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле: $χ = Γ - P + B$ где Г, Р и В суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для любого выпуклого многогранника верна формула Эйлера:

Γ - P + B = χ(S 2) = 2.

Например, для куба 6 − 12 + 8 = 2 и для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.

[править] Определения и свойства

Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма

$χ = k 0 - k 1 + k 2 - ...,$

где

k i

обозначает число клеток размерности

i

.

Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть определена через числа Бетти $b n$ как знакопеременная сумма:

$\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, ...$

Это определение имеет смысл только если все числа Бетти конечны и обнуляются для всех достаточно больших индексов.

Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.

Например окружность и тор имеют характеристику 0, а шар имеет характеристику 1.
Эйлерова характеристика сферы с g ручками равна

$2 - 2 g$ .

Согласно формуле Гаусса — Бонне, эйлерова характеристика замкнутой поверхности $S$ равна

$\chi(S)=\int\limits_SK$

где

K

обозначает гауссову кривизну.

Обобщённая формула Гаусса — Бонне даёт похожую формулу для произвольных замкнутых римановых многообразий.
Существует также дискретный аналог теоремы Гаусса — Боне, гласящий, что эйлерова характеристика равна сумме дефектов полиэдра делённой на $2π$ .