Эквивалентность категорий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эквивале́нтность катего́рий в теории категорий — отношение между категориями, показывающее, что две категории «по существу одинаковы». Установление эквивалентности свидетельствует о глубокой связи соответствующих математических концепций и позволяет «переносить» теоремы с одних структур на другие.

Определение[править | править вики-текст]

Для двух категорий C и D задана их эквивалентность, если задан функтор F : CD, функтор G : DC, и два естественных изоморфизма ε: FGID и η : ICGF. Здесь IC: CC и ID: DD — тождественные функторы на C и D соответственно. Если F и G — контравариантные функторы, это определяет двойственность категорий.

Эквивалентные формулировки[править | править вики-текст]

Можно показать, что функтор F : CD задаёт эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он:

  • вполне унивалентен и
  • плотен, то есть в классе изоморфизма любого элемента d категории D существует объект, имеющий прообраз в C под действием F.

Это — наиболее часто применяемый критерий, так как он не требует явно сконструировать «обратный» функтор и два естественных преобразования. С другой стороны, хотя приведенное выше свойство гарантирует существование эквивалентности, часть данных теряется, так как иногда эквивалентность можно провести разными способами. Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий.

Ещё одна формулировка использует понятие сопряжённых функторов: F и G задают эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда они оба вполне унивалентные и являются сопряжёнными.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Между категорией C из одного объекта c и одного морфизма 1_{c} и категорией D из двух объектов d_{1}, d_{2} и четырёх морфизмов: двух тождественных 1_{d_{1}}, 1_{d_{2}} и двух изоморфизма \alpha \colon d_{1} \to d_{2}, \beta \colon d_{2} \to d_{1} можно установить эквивалентность, например взять F, отправляющий c в d_{1} и G, отправляющий всё D в c. Однако, например, категория C не эквивалентна категории из двух объектов и двух тождественных морфизмов.
  • Пусть категория C состоит из одного объекта c и двух морфизмов 1_{c}, f \colon c \to c, где f \circ f = 1. Тогда f задаёт естественный изоморфизм \mathbf{I}_{C} с собой (нетривиальный, так как он действует на морфизмах не тождественным образом).
  • Эквивалентны категория C конечномерных действительных векторных пространств и категория D = \mathrm{Mat}(\mathbb{R}) (объекты — натуральные числа, морфизмы — матрицы соответствующей размерности): функтор F \colon C \to D сопоставляет векторному пространству его размерность (что соответствует выбору в каждом пространстве базиса).
  • Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категорий аффинных схем и коммутативных колец. Соответствующий функтор отправляет кольцо в его спектр — схему, образованную простыми идеалами.

Свойства[править | править вики-текст]

При эквивалентности категорий сохраняются все «категорные» свойства: например, свойство быть начальным объектом, мономорфизмом, пределом или свойство категории быть топосом.

Если F : CD — эквивалентность категорий и G1, G2 «обратные» к F, то G1 и G2 естественно изоморфны.

Литература[править | править вики-текст]