Эта статья входит в число хороших статей

Эквивалентность массы и энергии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эта статья включает описание термина «энергия покоя»

Эта статья включает описание термина «E=mc2»; см. также другие значения.

Формула на небоскрёбе Тайбэй 101 во время одного из мероприятий Всемирного года физики (2005)

Эквивале́нтность ма́ссы и эне́ргии — физическая концепция теории относительности, согласно которой полная энергия физического объекта (физической системы, тела) равна его (её) массе, умноженной на размерный множитель квадрата скорости света в вакууме:

\ E = mc^2, где E — энергия объекта, m — его масса, c — скорость света в вакууме, равная 299 792 458 м/с.

В зависимости от того, что понимается под терминами «масса» и «энергия», данная концепция может быть интерпретирована двояко:

  • с одной стороны, концепция означает, что масса тела (инвариантная масса, называемая также массой покоя)[1] равна (с точностью до постоянного множителя c²)[2] энергии, «заключённой в нём», то есть его энергии, измеренной или вычисленной в сопутствующей системе отсчёта (системе отсчёта покоя), так называемой энергии покоя, или в широком смысле внутренней энергии этого тела[3],
 E_0 = mc^2, где E_0 — энергия покоя тела, m — его масса покоя;
  • с другой стороны, можно утверждать, что любому виду энергии (не обязательно внутренней) физического объекта (не обязательно тела) соответствует некая масса; например, для любого движущегося объекта было введено понятие релятивистской массы, равной (с точностью до множителя c²) полной энергии этого объекта (включая кинетическую)[4],
\ m_{rel}c^2 = E, где E — полная энергия объекта, m_{rel} — его релятивистская масса.

Первая интерпретация не является лишь частным случаем второй. Хотя энергия покоя является частным случаем энергии, а m практически равна m_{rel} в случае нулевой или малой скорости движения тела, но m имеет выходящее за рамки второй интерпретации физическое содержание: эта величина является скалярным (то есть выражаемым одним числом) инвариантным (неизменным при смене системы отсчёта) множителем в определении 4-вектора энергии-импульса, аналогичным ньютоновской массе и являющимся её прямым обобщением[5], и к тому же m является модулем 4-импульса. Дополнительно, именно m (а не m_{rel}) является единственным скаляром, который не только характеризует инертные свойства тела при малых скоростях, но и через который эти свойства могут быть достаточно просто записаны для любой скорости движения тела[6].

И таким образом, m — инвариантная масса — физическая величина, имеющая самостоятельное и во многом более фундаментальное значение[7].

В современной теоретической физике концепцию эквивалентности массы и энергии обычно используется в первом смысле[8]. Главной причиной, почему приписывание массы любому виду энергии считается чисто терминологически неудачным и поэтому практически вышло из употребления в стандартной научной терминологии, является следующая из этого полная синонимичность понятий массы и энергии. Кроме того, неаккуратное использование такого подхода может запутывать[9] и в конечном итоге оказывается неоправданным. Таким образом, в настоящее время термин «релятивистская масса» в профессиональной литературе практически не встречается, а когда говорится о массе, имеется в виду инвариантная масса. В то же время термин «релятивистская масса» используется для качественных рассуждений в прикладных вопросах, а также в образовательном процессе и в научно-популярной литературе. Этот термин подчёркивает увеличение инертных свойств движущегося тела вместе с его энергией, что само по себе вполне содержательно[10].

В наиболее универсальной форме принцип был сформулирован впервые Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако представления о связи энергии и инертных свойств тела развивались и в более ранних работах других исследователей.

В современной культуре формула E=mc^2 является едва ли не самой известной из всех физических формул, что обуславливается её связью с устрашающей мощью атомного оружия. Кроме того, именно эта формула является символом теории относительности и широко используется популяризаторами науки[11].

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя[править | править вики-текст]

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся частицы, а также свободного тела и вообще любой замкнутой системы частиц, выполняются следующие соотношения[12]:

\ E^2 - \vec{p}^{\,2}c^2 = m^2c^4 \qquad \vec p = \frac{E\vec v}{c^2},

где E, \vec{p}, \vec{v}, m — энергия, импульс, скорость и инвариантная масса системы или частицы, соответственно, c — скорость света в вакууме. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда в нуль обращаются скорость и импульс тела (массивного объекта), его энергия в нуль не обращается[13], оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

E_0 = mc^2.

Эта величина носит название энергии покоя,[14] и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. На основании этого факта Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии[3] и что тем самым законы сохранения массы и энергии объединены в один закон сохранения[15].

Энергия и импульс тела являются компонентами 4-вектора энергии-импульса (четырёхимпульса)[16] (энергия — временной, импульс — пространственными) и соответствующим образом преобразуются при переходе из одной системы отсчёта в другую, а масса тела является лоренц-инвариантом, оставаясь при переходе в другие системы отсчёта постоянной, и имея смысл модуля вектора четырёхимпульса.

Следует также отметить, что несмотря на то, что энергия и импульс частиц аддитивны[17], то есть для системы частиц имеем:

\ E = \sum_i E_i \qquad \vec p = \sum_i \vec p_i (1)

масса частиц аддитивной не является,[12] то есть масса системы частиц, в общем случае, не равна сумме масс составляющих её частиц.

Таким образом, энергия (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса) и масса (инвариантный, неаддитивный модуль четырёхимпульса) — это две разные физические величины.[7]

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя означает, что в системе отсчёта, в которой свободное тело покоится (собственной), его энергия (с точностью до множителя \! c^2) равна его инвариантной массе.[7][18]

Четырёхимпульс равен произведению инвариантной массы на четырёхскорость тела.

p^\mu = m \, U^\mu\!,

Это соотношение следует считать аналогом в специальной теории относительности классического определения импульса через массу и скорость.

Понятие релятивистской массы[править | править вики-текст]

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта[4]:

m_{\mathrm{rel}} = \frac{E}{c^2},.

где m_{\mathrm{rel}} — релятивистская масса, E — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

m_{\mathrm{rel}} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},

где m — инвариантная («классическая») масса, v — скорость тела.

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).[7]

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя \! c^2) равна его релятивистской массе.[7][19]

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела[4]:

\vec p = m_{\mathrm{rel}}\vec v.

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения.[20]

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы \vec{F} и ускорения \vec{a}=d\vec{v}/dt существенно изменяется по сравнению с классической механикой:


  \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{m\vec{a}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{m\vec{v}\cdot(\vec{v}\vec{a})/c^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}.

Если скорость перпендикулярна силе, то \vec{F}=m\gamma\vec{a}, а если параллельна, то \vec{F}=m\gamma^3\vec{a}, где \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} — релятивистский фактор. Поэтому m\gamma=m_{\mathrm{rel}} называют поперечной массой, а m\gamma^3 — продольной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»[8]:

  • неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
  • синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
  • наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде
m_{\mathrm{rel}}\frac{d\vec v}{dt}=\vec F;
  • методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
  • путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной,[21] и в научной литературе. Следует, правда, отметить, что в научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

Гравитационное взаимодействие[править | править вики-текст]

В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, и его величина определяется гравитационной массой тела[22], которая с высокой степенью точности равна по величине инертной массе, о которой шла речь выше, что позволяет говорить о просто массе тела[23].

В релятивистской физике гравитация подчиняется законам общей теории относительности, в основе которой лежит принцип эквивалентности, заключающийся в неотличимости явлений, происходящих локально в гравитационном поле, от аналогичных явлений в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением, равным ускорению свободного падения в гравитационном поле. Можно показать, что данный принцип эквивалентен утверждению о равенстве инертной и гравитационной масс[24].

В общей теории относительности энергия играет ту же роль, что и гравитационная масса в классической теории. Действительно, величина гравитационного взаимодействия в этой теории определяется так называемым тензором энергии-импульса, являющимся обобщением понятия энергии[25].

В простейшем случае точечной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле объекта, масса которого много больше массы частицы, сила, действующая на частицу, определяется выражением[8]:

\vec F = - GM\frac{E}{c^2}\frac{(1+\beta^2)\vec r - (\vec r\vec\beta)\vec\beta}{r^3}

где G — гравитационная постоянная, M — масса тяжёлого объекта, E — полная энергия частицы, \beta=v/c, v — скорость частицы, \vec r — радиус-вектор, проведённый из центра тяжёлого объекта в точку нахождения частицы. Из этого выражения видна главная особенность гравитационного взаимодействия в релятивистском случае по сравнению с классической физикой: оно зависит не только от массы частицы, но и от величины и направления её скорости. Последнее обстоятельство, в частности, не позволяет ввести однозначным образом некую эффективную гравитационную релятивистскую массу, сводившую бы закон тяготения к классическому виду[8].

Предельный случай безмассовой частицы[править | править вики-текст]

Важным предельным случаем является случай частицы, масса которой равна нулю. Примером такой частицы является фотон — частица-переносчик электромагнитного взаимодействия[26]. Из приведённых выше формул следует, что для такой частицы справедливы следующие соотношения:

E = pc, \qquad v = c.

Таким образом, частица с нулевой массой вне зависимости от своей энергии всегда двигается со скоростью света. Для безмассовых частиц введение понятия «релятивистской массы» в особой степени не имеет смысла, поскольку, например, при наличии силы в продольном направлении скорость частицы постоянна, а ускорение, следовательно, равно нулю, что требует бесконечной по величине эффективной массы тела. В то же время, наличие поперечной силы приводит к изменению направления скорости, и, следовательно, «поперечная масса» фотона имеет конечную величину.

Аналогично бессмысленно для фотона вводить эффективную гравитационную массу. В случае центрально-симметричного поля, рассмотренного выше, для фотона, падающего вертикально вниз, она будет равна E/c^2, а для фотона, летящего перпендикулярно направлению на гравитационный центр, — 2E/c^2[8].

Практическое значение[править | править вики-текст]

Формула на палубе первого авианосца с ядерной силовой установкой USS Enterprise 31 июля 1964[27]

Полученная А. Эйнштейном эквивалентность массы тела запасённой в теле энергии стала одним из главных практически важных результатов специальной теории относительности. Соотношение E_0 = mc^2 показало, что в веществе заложены огромные (благодаря квадрату скорости света) запасы энергии, которые могут быть использованы в энергетике и военных технологиях[28].

Количественные соотношения между массой и энергией[править | править вики-текст]

В международной системе единиц СИ отношение энергии и массы E / m выражается в джоулях на килограмм, и оно численно равно квадрату значения скорости света c в метрах в секунду:

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0·1016 джоулей на килограмм).

Таким образом, 1 грамм массы эквивалентен следующим значениям энергии:

В ядерной физике часто применяется значение отношения энергии и массы, выраженное в мегаэлектронвольтах на атомную единицу массы — ≈931,494 МэВ/а.е.м.

Примеры взаимопревращения энергии покоя и кинетической энергии[править | править вики-текст]

Энергия покоя способна переходить в кинетическую энергию частиц в результате ядерных и химических реакций, если в них масса вещества, вступившего в реакцию, больше массы вещества, получившегося в результате. Примерами таких реакций являются[8]:

e^- + e^+ \rightarrow 2\gamma.
2e^- + 4p^+ \rightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\nu_e + E_\mathrm{kin}.
{}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^1_0 n \rarr {}^{93}_{36}\mathrm{Kr} + {}^{140}_{ 56}\mathrm{Ba} + 3~ {}^1_0 n.
\mathrm{CH}_4 + 2\mathrm O_2 \rightarrow \mathrm{CO}_2 + 2\mathrm H_2\mathrm O.

В этой реакции выделяется порядка 35,6 МДж тепловой энергии на кубический метр метана, что составляет порядка 10−10 от его энергии покоя. Таким образом, в химических реакциях преобразование энергии покоя в кинетическую энергию значительно ниже, чем в ядерных.

Важно отметить, что в практических применениях превращение энергии покоя в энергию излучения редко происходит со стопроцентной эффективностью. Теоретически совершенным превращением было бы столкновение материи с антиматерией, однако в большинстве случаев вместо излучения возникают побочные продукты и вследствие этого только очень малое количество энергии покоя превращается в энергию излучения.

Существуют также обратные процессы, увеличивающие энергию покоя, а следовательно и массу. Например, при нагревании тела увеличивается его внутренняя энергия, в результате чего возрастает масса тела. Другой пример — столкновение частиц. В подобных реакциях могут рождаться новые частицы, массы которых существенно больше, чем у исходных. «Источником» массы таких частиц является кинетическая энергия столкновения.

История и вопросы приоритета[править | править вики-текст]

Джозеф Джон Томсон первым попытался связать энергию и массу

Представление о массе, зависящей от скорости, и об имеющейся связи между массой и энергией начало формироваться ещё до появления специальной теории относительности. В частности, в попытках согласовать уравнения Максвелла с уравнениями классической механики некоторые идеи были выдвинуты в статьях Н. А. Умова, Дж. Дж. Томсона, О. Хевисайда, Р. Сирла (англ.)русск., М. Абрагама, Х. Лоренца и А. Пуанкаре[11]. Однако только у А. Эйнштейна эта зависимость универсальна, не связана с эфиром и не ограничена электродинамикой[29].

Считается, что впервые попытка связать массу и энергию была предпринята в работе Дж. Дж. Томсона, появившейся в 1881 году[8]. Томсон в своей работе вводит понятие электромагнитной массы, называя так вклад, вносимый в инертную массу заряженного тела электромагнитным полем, создаваемым этим телом[30].

Идея наличия инерции у электромагнитного поля присутствует также и в работе О. Хевисайда, вышедшей в 1889 году[31]. Обнаруженные в 1949 году черновики его рукописи указывают на то, что где-то в это же время, рассматривая задачу о поглощении и излучении света, он получает соотношение между массой и энергией тела в виде E=mc^2[32][33].

В 1900 году А. Пуанкаре опубликовал работу, в которой пришёл к выводу, что свет как переносчик энергии должен иметь массу, определяемую выражением E/v^2, где E — переносимая светом энергия, v — скорость переноса[34].

Хендрик Антон Лоренц указывал на зависимость массы тела от его скорости

В работах М. Абрагама (1902 год) и Х. Лоренца (1904 год) было впервые установлено, что, вообще говоря, для движущегося тела нельзя ввести единый коэффициент пропорциональности между его ускорением и действующей на него силой. Ими были введены понятия продольной и поперечной масс, применяемые для описания динамики частицы, движущейся с околосветовой скоростью, с помощью второго закона Ньютона[35][36]. Так, Лоренц в своей работе писал[37]:

Следовательно, в процессах, при которых возникает ускорение в направлении движения, электрон ведёт себя так, как будто он имеет массу m_1, а при ускорении в направлении, перпендикулярном к движению, как будто обладает массой m_2. Величинам m_1 и m_2 поэтому удобно дать названия «продольной» и «поперечной» электромагнитных масс.

Экспериментально зависимость инертных свойств тел от их скорости была продемонстрирована в начале XX века в работах В. Кауфмана (1902 год)[38] и А. Бухерера 1908 год)[39].

В 1904—1905 годах Ф. Газенорль в своей работе приходит к выводу, что наличие в полости излучения проявляется в том числе и так, будто бы масса полости увеличилась[40][41].

Альберт Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности энергии и массы в наиболее общем виде

В 1905 году появляется сразу целый ряд основополагающих работ А. Эйнштейна, в том числе и работа, посвящённая анализу зависимости инертных свойств тела от его энергии[42]. В частности, при рассмотрении испускания массивным телом двух «количеств света» в этой работе впервые вводится понятие энергии покоящегося тела и делается следующий вывод[43]:

Масса тела есть мера содержания энергии в этом теле; если энергия изменяется на величину L, то масса изменяется соответственно на величину L/9×1020, причём здесь энергия измеряется в эргах, а масса — в граммах… Если теория соответствует фактам, то излучение переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами

В 1906 году Эйнштейн впервые говорит о том, что закон сохранения массы является всего лишь частным случаем закона сохранения энергии[44].

В более полной мере принцип эквивалентности массы и энергии был сформулирован Эйнштейном в работе 1907 года[45], в которой он пишет

…упрощающее предположение \mu V^2 = ε0 является одновременно выражением принципа эквивалентности массы и энергии…

Под упрощающим предположением здесь имеется в виду выбор произвольной постоянной в выражении для энергии. В более подробной статье, вышедшей в том же году[3], Эйнштейн замечает, что энергия является также и мерой гравитационного взаимодействия тел.

В 1911 году выходит работа Эйнштейна, посвящённая гравитационному воздействию массивных тел на свет[46]. В этой работе им приписывается фотону инертная и гравитационная масса равная E/c^2 и для величины отклонения луча света в поле тяготения Солнца выводится значение 0,83 дуговой секунды, что в два раза меньше правильного значения, полученного им же позже на основе развитой общей теории относительности[47]. Интересно, что то же самое половинное значение было получено И. фон Зольднером (англ.) ещё в 1804 году, но его работа осталась незамеченной[48].

Экспериментально эквивалентность массы и энергии была впервые продемонстрирована в 1933 году. В Париже Ирен и Фредерик Жолио-Кюри сделали фотографию процесса превращения кванта света, несущего энергию, в две частицы, имеющих ненулевую массу. Приблизительно в то же время в Кембридже Джон Кокрофт и Эрнест Томас Синтон Уолтон наблюдали выделение энергии при делении атома на две части, суммарная масса которых оказалась меньше, чем масса исходного атома[49].

Влияние на культуру[править | править вики-текст]

С момента открытия формула E=mc^2 стала одной из самых известных физических формул и является символом теории относительности. Несмотря на то, что исторически формула была впервые предложена не Альбертом Эйнштейном, сейчас она ассоциируется исключительно с его именем, например, именно эта формула была использована в качестве названия вышедшей в 2005 году телевизионной биографии известного учёного[50]. Известности формулы способствовало широко использованное популяризаторами науки контринтуитивное заключение, что масса тела увеличивается с увеличением его скорости. Кроме того, с этой же формулой ассоциируется мощь атомной энергии[11]. Так, в 1946 году журнал «Time» на обложке изобразил Эйнштейна на фоне гриба ядерного взрыва с формулой E=mc^2 на нём[51][52].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Поскольку эта масса инвариантна, её значение всегда совпадает с тем, которое может быть стандартным образом измерено в сопутствующей системе отсчёта (то есть, в такой системе отсчёта, которая двигается вместе с телом и относительно которой скорость тела в данный момент нулевая, иначе говоря, в системе отсчёта покоя).
  2. То есть с точностью до универсальной константы, которая может быть сделана просто равной единице выбором подходящей системы единиц измерения.
  3. 1 2 3 Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen (нем.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 4. — P. 411—462.
    Einstein A. Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» (нем.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 5. — P. 98—99.
    русский перевод: Эйнштейн А. О принципе относительности и его следствиях // Теория относительности. Избранные работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — ISBN 5-93972-002-1.
  4. 1 2 3 Паули В. §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гинзбург и В. П. Фролов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1991. — С. 166—169. — 328 с. — (Библиотека теоретической физики). — 17 700 экз. — ISBN 5-02-014346-4.
  5. Так же, как в нерелятивистской теории, масса входит как скалярный множитель в определение энергии и определение импульса.
  6. Через m_{rel} (и скорость) эти свойства, конечно, тоже можно записать, но гораздо менее компактно, симметрично и красиво; в другом же подходе приходится и вовсе вводить величины с несколькими компонентами, например, отличающиеся «продольную массу» и «поперечную массу».
  7. 1 2 3 4 5 Угаров В. А. Глава 5.6. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
  8. 1 2 3 4 5 6 7 Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // УФН. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
  9. Главным образом путаница может возникать именно между массой в таком понимании и пониманием, ставшим стандартным, то есть инвариантной массой (за которой короткий термин закрепился как за величиной, имеющей самостоятельный смысл, а не просто как синоним энергии с отличием, быть может, только на постоянный коэффициент).
  10. Поэтому в популярной литературе и вполне оправданно, так как там термин масса призван апеллировать к физической интуиции через использование знакомого классического понятия, хотя с формальной точки зрения, важной для профессиональной терминологии, он здесь и излишен.{{подст:АИ}}
  11. 1 2 3 Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: E0 = mc2. «Не смеётся ли Господь Бог»? // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
  12. 1 2 Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 47—48. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  13. В нерелятивистской механике, строго говоря, энергия также не обязана обращаться в нуль, поскольку энергия определяется с точностью до произвольного слагаемого, однако никакого конкретного физического смысла это слагаемое не имеет, поэтому выбирается обычно так, чтобы энергия покоящегося тела была равна нулю.
  14. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 46. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  15. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133. — 381 с.
  16. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 49. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  17. Barut A. O. Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York: Dover Publications, 1980. — С. 58. — 235 с. — ISBN 0-486-64038-8.
  18. Угаров В. А. Глава 8.5. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
  19. Угаров В. А. Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
  20. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — ISBN 978-5-397-00892-1.
  21. см. например Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — С. 671—673. — 768 с.
  22. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 302—308. — 520 с.
  23. В. А. Фок Масса и энергия // УФН. — 1952. — В. 2. — Т. 48. — С. 161—165.
  24. В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко Еще раз о принципе эквивалентности // УФН. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
  25. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 349—361. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  26. И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь О массе фотона // УФН. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
  27. USS Baindridge (DLGN/CGN 25). NavSource Online: Cruiser Photo Archive. NavSource Naval History. Проверено 27 сентября 2010. Архивировано из первоисточника 25 января 2012.
  28. Чернин А. Д. Формула Эйнштейна (рус.) // Трибуна УФН.
  29. Пайс А. §7.2. Сентябрь 1905 г. О выражении E=mc^2 // Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М.: Наука, 1989. — С. 143—145. — 568 с. — 36 500 экз. — ISBN 5-02-014028-7.
  30. Thomson J. J. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies (англ.) // Philosophical Magazine. — 1881. — Т. 11. — С. 229—249.
  31. Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric (англ.) // Philosophical Magazine. — 1889. — Т. 27. — С. 324—339.
  32. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 254 с.
  33. Кларк А. XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М.: Связь, 1964. — 236 с. — 20 000 экз.
  34. Poincaré H. La théorie de Lorentz et le principe de réaction (фр.) // Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. — 1900. — Vol. 5. — P. 252—278.
  35. Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons (нем.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 57—63.
    Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons (нем.) // Ann. Phys.. — 1903. — Vol. 315. — P. 105—179.
  36. Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light (англ.) // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1904. — Vol. 6. — P. 809—831.
  37. Кудрявцев, 1971, с. 39
  38. Kaufmann W. Die elektromagnetische Masse des Elektrons (нем.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 54—57.
  39. Bucherer A. H. On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham (англ.) // Philos. Mag.. — 1908. — Vol. 15. — P. 316—318.
    Bucherer A. H. Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie (нем.) // Phys. Z.. — 1908. — Vol. 9. — P. 755—762.
  40. Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern (нем.) // Ann. Phys.. — 1904. — Vol. 15 [320]. — P. 344—370.
    Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung (нем.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 16 [321]. — P. 589—592.
  41. Stephen Boughn Fritz Hasenöhrl and E = mc² (англ.) // The European Physical Journal H. — 2013. — Vol. 38. — P. 261—278. — DOI:10.1140/epjh/e2012-30061-5 — arΧiv1303.7162
  42. Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (нем.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 18 [323]. — P. 639—641.
  43. Кудрявцев, 1971, с. 51
  44. Einstein A. Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie (нем.) // Ann. Phys.. — 1906. — Vol. 20. — P. 627–633.
  45. Einstein A. Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie (нем.) // Ann. Phys.. — 1907. — Vol. 23 [328]. — P. 371—384.
  46. Einstein A. Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes (нем.) // Ann. Phys.. — 1911. — Vol. 35 [340]. — P. 898—908.
  47. Einstein A. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (нем.) // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. — 1915. — Vol. 47. — № 2. — P. 831—839.
  48. von Soldner J. Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht (нем.) // Astronomisches Jahrbuch für das Jahr. — 1804. — P. 161—172.
  49. E=mc² (англ.). The Center for History of Physics. Проверено 22 января 2011. Архивировано из первоисточника 25 января 2012.
  50. E=mc² (англ.) на сайте Internet Movie Database
  51. Friedman A. J., Donley C. C. Einstein as Myth and Muse. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. — С. 154—155. — 224 с. — ISBN 9780521267205.
  52. Albert Einstein (рус.). Time magazine (1 июля 1946). Проверено 30 января 2011. Архивировано из первоисточника 25 января 2012.

Литература[править | править вики-текст]

  • Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.
  • Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.
  • Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]