Экспонента

График экспоненты.
Касательная в нуле у функции $e^x$ наклонена на $\pi/4$
Рядом для примера показаны $2^x$ (точками) и $4^x$ (пунктиром)

Экспонента — показательная функция $\exp(x)=e^x$, где e — основание натуральных логарифмов ($e = 2.7182818284590452...$).

Определение

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

или через предел:

$e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n$

Здесь x — любое комплексное число.

Свойства

• $(e^x)'=e^x$, в частности
  • Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения $y'=y$ с начальными данными $y(0)=1$. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
• Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
• Экспонента является выпуклой функцией.
• Обратная функция к ней — натуральный логарифм $\ln~x$.
• Фурье-образ экспоненты не существует
• однако преобразование Лапласа существует
• Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
• Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид $\exp(cx)$, где c — некоторая константа.

• $e^x = \sinh x + \cosh x$ где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением $f(z)=e^z$, где $z$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты $f(x)=e^x$ вещественного переменного $x$:

Определим формальное выражение

$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции $e^z$, то есть показать, что $e^z$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

$f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

Сходимость данного ряда легко доказывается:

$\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}$.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции $f(z)=e^z$. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция $e^z$ всюду определена и аналитична.

Свойства

• Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в нуль.
• $e^z$ — периодическая функция с основным периодом 2πi: $e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}$. В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой $2 \pi$.
• Алгебраически, экспонента от комплексного аргумента $z=x+iy$ может быть определена следующим образом:

  $e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y)$ (формула Эйлера)

  • В частности, имеет место (тождество Эйлера),

    $e^{i\pi}+1=0$

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

$\exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.$

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора $A$ с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы $A:$ $\exp \|A\|.$ Следовательно, экспонента от матрицы $A \in \Bbb{R}^{n\times n}$ всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение $\dot x=Ax, ~~~ x\in \mathbb R^n$ с начальным условием $x(0)=x_0$ имеет своим решением $x(t)=\exp (At) x_0.$

Обратная функция

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается $\ln(x)\,$:

$\ln(x) = \log_{e}(x)\,$

См. также

• Показательная функция
• Список интегралов от экспоненциальных функций

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.