Экспонента Артина — Хассе

В математике экспонентой Артина — Хассе, названной в честь Эмиля Артина и Хельмута Хассе, называется степенной ряд вида

$E_{p}(x)=\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}+{\frac {x^{p^{2}}}{p^{2}}}+{\frac {x^{p^{3}}}{p^{3}}}+\cdots \right).$

Мотивация

В отличие от обычной экспоненты, коэффициенты разложения в ряд экспоненты Артина — Хассе являются p-целыми, другими словами, их знаменатели не делятся на p. Это следует из леммы Дворка (Dwork), утверждающей, что степенной ряд f(x) = 1 + … с рациональными коэффициентами имеет p-целые коэффициенты тогда и только тогда, когда f(x^p)/f(x)^p ≡ 1 mod p.

Используя обращение Мёбиуса $E_{p}(x)$ можно переписать как бесконечное произведение

$E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.$

Здесь μ — функция Мёбиуса.

Комбинаторная интерпретация

Экспонента Артина — Хассе является производящей функцией вероятности того, что случайно выбранный элемент S_n (симметрическая группа с n элементами) имеет порядок степени p (это число обозначается как t_n):

$E_{p}(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {t_{n}}{n!}}x^{n}$

Заметим, что это даёт ещё одно доказательство p-целостности коэффициентов, поскольку в конечной группе с порядком, делящемся на d, количество элементов с порядком, делящим d также делится на d.

Давид Робертс (David Roberts) показал естественную комбинаторную связь между экспонентой Артина — Хассе и обычной экспонентой в свете эргодической теории, доказав, что экспонента Артина-Хассе является производящей функцией вероятности унипотентности элемента симметрической группы в характеристике p. Обычная экспонента дает вероятность элемента быть унипотентным в той же группе в характеристике 0.

Гипотезы

В курсе PROMYS 2002 года, Кит Конрад (Keith Conrad) высказал гипотезу, что коэффициенты $E_{p}(x)$ равномерно распределены в p-адических числах относительно нормализованной меры Хаара, так как это соответствует проделанным им вычислениям. Эта гипотеза остаётся открытой.

Динеш Такур (Dinesh Thakur) поставил проблему — является ли экспонента Артина-Хассе трансцендентной над $\mathbb {F} _{p}[x]$.

Различные относительно простые свойства функции также не определены, включая вопрос, выполняется ли верное для обычной экспоненты функциональное равенство $E_{p}(a)^{b}=E_{p}(ab)$.

См. также

• Вектор Витта
• Формальная группа

Ссылки

• Alain M. Robert. A course in p-adic analysis. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. — Т. 198. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98669-3.
• Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. — Москва: Мир, 1982.
• Dinesh S. Thakur. Automata Methods in Transcendence.
• Ivan B. Fesenko, Sergei V. Vostokov. Local fields and their extensions // Second. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2002. — Т. 121. — ISBN 978-0-8218-3259-2.