Экспоненциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий экспоненциал — это категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть в категории C существуют бинарные произведения. Тогда экспоненциал ZY можно определить как универсальный морфизм из функтораY в Z. (Функтор -×Y из C в C отображает объект X в X×Y и морфизмы φ в φ×idY).

Более явно, экспоненциал Z^Y объектов Z и Y — это такой объект, вместе с морфизмом eval\colon Z^y\times Y \to Z, называемым отображением оценки, что для любого объекта X и морфизма g\colon X\times Y \to Z существует единственный морфизм \lambda g\colon X\to Z^Y, для которого следующая диаграмма коммутативна:

Universal property of the exponential object

Если экспоненциал ZY существует для всех Z в C, то функтор, отправляющий Z в ZY является правым сопряженным к -×Y. В этом случае существует естественная биекция

\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y).

Примеры[править | править вики-текст]

В категории множеств экспоненциал Z^Y — это множество всех функций из Y в Z. Для любого отображения g\colon (X \times Y) \rightarrow Z отображение \lambda g\colon X\to Z^Y — это каррированная форма g:

\lambda g(x)(y) = g(x,y).\,

В категории топологических пространств экспоненциал ZY существует, если Y — локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае ZY — это множество непрерывных функций из Y в Z с компактно-открытой топологией. Если Y не локально компактное хаусдорфово пространство, экспонециал может не существовать (пространство ZY будет существовать, но отображение \lambda может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических простраств не является декартово замкнутой.

Литература[править | править вики-текст]

  • Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Adámek Jiří Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). — John Wiley & Sons, 2006.