Экспоненциальное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия M экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения TM в само многообразие M.

Экспоненциальное отображение обычно обозначается \exp\colon TM\to M, а его сужение на касательное пространство T_pM в точке p\in M обозначается \exp_p\colon T_pM\to M и назывется экспоненциальным отображением в точке p.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть Mриманово многообразие и p \in M. Для каждого вектора v \in T_p M существует единственная геодезическая \gamma_v(t), выходящая из точки p (то есть \gamma_v(0)=p), такая что \gamma_v'(0)=v.

Экспоненциальное отображение вектора v есть точка \gamma_v(1) \in M, или \exp v=\gamma_v(1).

Свойства[править | править исходный текст]

  • \exp_p(0)=p.
Образ поверхности Земли при обратном экспоненциальном отображении к северному плюсу.
  • Для каждой точки p \in M существует такое число \varepsilon>0, что экспоненциальное отображение \exp_p определено для всех векторов v \in T_p M, удовлетворяющих условию |v| \le \varepsilon.
    • Более того, \exp_p является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве T_p M в некоторую окрестность точки p многообразия M. Таким образом, в некоторой окрестности точки p многообразия M определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое \log_p), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства T_p M.
  • В полном римановом многообразии, экспоненциальное отображение опеделено для любого касательного вектора.
для любого v\in T_pM. Здесь мы отождествляем пространство, касательное к T_pM, с ним самим.
  • Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

Ссылки[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
  • А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
  • М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.