Экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения[править | править вики-текст]

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x_0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).

Если неравенства выше строгие, то x_0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • x_0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x_0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Значение функции f(x_0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание[править | править вики-текст]

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x) = x,\; x\in (-1,1).

Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править вики-текст]

Пусть точка x_0 является точкой экстремума функции ~f, определенной в некоторой окрестности точки x_0.
Тогда либо производная ~f'(x_0) не существует, либо ~f'(x_0) = 0.

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править вики-текст]

  • Пусть функция f\in C(x_0) непрерывна в x_0\in M^0, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные ~f'_+(x_0), f'_-(x_0). Тогда при условии
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0

x_0 является точкой строгого локального максимума. А если

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

то x_0 является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x_0

  • Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x_0. Тогда при условии
~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

x_0 является точкой локального максимума. А если

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

то x_0 является точкой локального минимума.

  • Пусть функция f дифференцируема n раз в точке x_0 и f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0, а f^{(n)}(x_0)\ne 0.

Если n чётно и f^{(n)}(x_0)<0, то x_0 - точка локального максимума. Если n чётно и f^{(n)}(x_0)>0, то x_0 - точка локального минимума. Если n нечётно, то экстремума нет.

См. также[править | править вики-текст]

Шаблон:Экстремум