Экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

[править] Определения

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
  • x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).

Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

[править] Замечание

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x) = x,\; x\in (-1,1).

[править] Необходимые условия существования локальных экстремумов

  • Лемма Ферма. Пусть функция f\in \mathcal{D}(x_0) дифференцируема в точке локального экстремума x0. Тогда:
f'(x0) = 0.

[править] Достаточные условия существования локальных экстремумов

  • Пусть функция f\in C(x_0) непрерывна в x_0\in M^0, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные ~f'_+(x_0), f'_-(x_0). Тогда при условии
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0

x0 является точкой строгого локального максимума. А если

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

то x0 является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0

  • Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии
~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

x0 является точкой локального максимума. А если

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

то x0 является точкой локального минимума.

[править] См. также

Общие методы (методы нелинейного программирования):
Методы одномерной оптимизации: Метод золотого сечения (Метод чисел Фибоначчи) • Метод деления пополам • Метод дихотомии • Метод парабол • Метод равномерного поиска (перебора) • Метод равномерного блочного поиска • Метод троичного поиска
Методы многомерной оптимизации:

Прямые методы:
(требуют только значения функции в точках приближений)
Метод Гаусса • Метод деформируемого многогранника (метод Нелдера — Мида, симплексный метод) • Метод конфигураций • Метод Розенброка • Метод сопряжённых направлений • Метод Хука — Дживса

Методы первого порядка:
(помимо значений функции требуют значения частных производных)
Метод наискорейшего спуска • Метод покоординатного спуска • Метод сопряжённых градиентов

Методы второго порядка:
(требуют значения первой и второй частных производных):
Метод Ньютона • Метод Ньютона-Рафсона

Методы линейного программирования:

Метод эллипсоидов • Симплекс-метод • Метод потенциалов


Формула Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC»