Элементарный топос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Элемента́рный то́пос — категория, в некотором смысле похожая на категорию множеств, основной предмет изучения теории топосов. Средствами элементарных топосов может быть описана аксиоматика как самой теории множеств, так и альтернативных теорий и логик, например, интуиционистская логика.

Определение[править | править вики-текст]

Элементарный топос — это декартово замкнутая категория, в которой существует выделенный объект \Omega, называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта T\colon 1 \to \Omega, называемый истиной (также обозначается true), такой что для любого мономорфизма m\colon A \to B существует единственный морфизм \chi_m\colon B \to \Omega, для которого диаграмма

CharakterPullbackTopos.png

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и декартов квадрат любых двух стрелок с общим концом, а также экспоненциал a^b любых двух объектов a и b и классификатор подобъектов \Omega.

Свойства[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

  • Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств A и B — это множество A^B отображений из B в A. Классификатор подобъектов — это множество \Omega = \{0;1\}, при этом m — естественное вложение A в B, а \chi_m — характеристическая функция подмножества A множества B, равная 1 на элементах A и 0 на элементах A \backslash B. Подобъекты A — это его подмножества.
  • Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
  • Для любой категории C категория функторов \left[ C, \mathbf{Set} \right] является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов F,G функтор морфизмов [F,G] даётся формулой
[F,G](c)=\mathrm{Hom}(F(c),G(c))
Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов \Omega на объекте c\in C равен множеству подфункторов представимого функтора \mathrm{Hom}(c,\cdot).
  • Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству X его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, Ouv(X), то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе [Ouv(X),\mathbf{Set}]. Единственное отличие: \Omega(c) есть множество всех подпучков представимого пучка \mathrm{Hom}_{Ouv(X)}(c,\cdot).
  • Более общо, для любой категории C с заданной топологией Гротендика \tau категория \tau-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
  • Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

Литература[править | править вики-текст]

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • П. Т. Джонстон Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
  • F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3
  • P. T. Johnstone Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X