Эллиптические функции Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют \wp-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ \wp (стилизованное P).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задана эллиптическая кривая E=\mathbb{C}/\Gamma, где \Gamma — решётка в \mathbb{C}. Тогда \wp-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right).

Можно увидеть, что так определённая функция будет \Gamma-периодичной на \mathbb{C}, и потому является мероморфной функцией на E.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2} — «наивной» попытки задать \Gamma-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на \Gamma имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как\frac{1}{|w|^2}, а сумма \sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2} по двумерной решётке \Gamma расходится.

Варианты определения[править | править вики-текст]

Задавая решётку \Gamma её базисом, \Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \mathbb{Z}\}, можно записать


\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right).

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, \wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}\wp(z;\omega_1,\omega_2), обозначив \tau=\omega_2/\omega_1, имеет место равенство

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).

Поэтому рассматривают


\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция Вейерштрасса \wp_E:E\mapsto \widehat{\mathbb{C}} — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
  • Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения e_1, e_2, e_3. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом z\mapsto -z кривой E — точки 0 и трёх полупериодов \omega_1/2,\omega_2/2, (\omega_1+\omega_2)/2. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой E/(z\mapsto -z) (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана \widehat{\mathbb{C}}.
  • Воспользовавшись разложением \frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j и просуммировав по w\in \Gamma\setminus \{0\}, можно получить разложение в точке z=0 функции Вейерштрасса в ряд Лорана:


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2},
где G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k} — ряды Эйзенштейна для решётки \Gamma (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при z^2 и z^4 зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в \mathbb{C}P^2:


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,

где g_2 и g_3 — модулярные инварианты решётки \Gamma:


g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma).

Вложение эллиптических кривых в \mathbb{C}P^2[править | править вики-текст]

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в \mathbb{C}P^2, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую E=\mathbb{C}/\Gamma в \mathbb{C}P^2 и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение F:E\to \mathbb{C}P^2, задаваемое вне точки z=0 как F(z)=(\wp(z),\wp'(z))\in \mathbb{C}^2. Поскольку функция \wp мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из E в \mathbb{C}P^2.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции \wp(z), так и функции \wp'(z) — это точка z=0. Более того, поскольку \wp(z) — чётная функция, \wp'(z) — нечётная, и, соответственно, (\wp'(z))^2 — чётная. Функция \wp(z) имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса (\wp')^2 могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней \wp. Явно подбирая коэффициенты из разложений


\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots,

(\wp'_E(z))^2=\left(-\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2(\Gamma) z + \frac{1}{7}g_3(\Gamma) z^3 + \dots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{2}{5} g_2(\Gamma) \frac{1}{z^2} - \frac{4}{7} g_3(\Gamma) + \dots,

видим, что разница


\varphi(z)=(\wp_E'(z))^2-4\wp_E^3(z)+g_2(E) \wp(z)

в точке z=0 неособая. Но \varphi(z) голоморфна и вне z=0 (в силу голоморфности \wp и \wp'), поэтому \varphi(z) — голоморфная на всей компактной римановой поверхности E функция. В силу принципа максимума \varphi(z) — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным -g_3(E). Окончательно, функция (\wp'(z))^2 -4 \wp^3(z) + g_2(E) \wp(z) +g_3(E) обращается на E в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения F это эллиптическая кривая в \mathbb{C}P^2, задаваемая уравнением


y^2=4x^3-g_2(E) x - g_3(E).

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты g_2 и g_3 с соответствующими суммами обратных степеней G_2(E) и G_3(E): это традиционный выбор нормировки, благодаря которому в уравнении на кривую g_2 и g_3 это в точности коэффициент при x и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение[править | править вики-текст]

Для эллиптической кривой E задающая её решётка \Gamma не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре (E,\omega), где \omega — ненулевая голоморфная 1-форма на E: в качестве \omega можно взять проекцию на E формы dz на \mathbb{C}, тогда \Gamma восстанавливается как набор всевозможных интегралов \omega по петлям на торе E:


\Gamma=\left\{\int_{\gamma} \omega \mid \gamma\in H_1(E) \right\}

На эллиптической кривой y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E), являющейся образом отображения F=(\wp_E,\wp'_E), имеется голоморфная форма \omega=\frac{dx}{y}. Несложно видеть, что она является в точности образом формы dz на E при отображении F. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

  • Обратное отображение к отображению F ищется как интеграл формы \omega:

z(x,y)= \int_{\infty}^{(x,y)} \frac{dx}{y},

где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой F(E). Бесконечно удалённая точка на кривой F(E) при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки z=0, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов \Gamma.

  • Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

\wp_E^{-1}(x) = \int_{\infty}^x \frac{dx}{\pm\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}.

(выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент \Gamma).

  • Решётка \Gamma восстанавливается как множество интегралов формы \frac{dx}{y} по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E).


Сложение точек на эллиптической кривой[править | править вики-текст]

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления E=\mathbb{C}/\Gamma это просто сложение точек \mathbb{C}. Для «геометрического» — как вложенной в \mathbb{C}P^2 кривой y^2=4x^3+px+q — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение F=(\wp(z),\wp'(z)) переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:


\det\begin{bmatrix}
\wp(u) & \wp'(u) & 1\\
\wp(v) & \wp'(v) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1
\end{bmatrix}=0

для любых u+v+w=0. Также, ввиду чётности \wp и нечётности \wp', оно может быть записано как


\det\begin{bmatrix}
\wp(z) & \wp'(z) & 1\\
\wp(w) & \wp'(w) & 1\\
\wp(z+w) & -\wp'(z+w) & 1
\end{bmatrix}=0

Применение в голоморфной динамике[править | править вики-текст]

С помощью \wp-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв \Gamma=\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z} \}, можно рассмотреть отображение D удвоение на торе E=\mathbb{C}/\Gamma:


D(z) = 2z \, \mod \mathbb{Z}[i].

Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение D корректно спускается на фактор S^2=E/(z\sim -z). Поэтому отображение D отображением \wp полусопряжено некоторому рациональному отображению R:\mathbb{C}P^1\to \mathbb{C}P^1:


\wp \circ D = R\circ \wp.

Иными словами,


R(z)=\wp(2 \wp^{-1}(z)).

Для такого отображения R образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа J(R)=\mathbb{C}P^1, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения R равна четырём (поскольку отображение z\mapsto 2z на торе имеет степень 4), и его коэффициенты R можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора R в нуле через ряд Лорана для \wp (и, соответственно, для \wp^{-1}).


Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of \mathbb{R}^2, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
  • A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2