Эллиптическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции  u : R^n \rightarrow R :

 \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}  \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n)

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть:  a_{ij} = a_{ji} . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

\left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n),

где A = A^T.
Матрица A называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна (n, 0), то есть все собственные значения матрицы A имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

 Lu = f(x_1,\ldots , x_{n}) ,

где L — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений[править | править вики-текст]

Поскольку эллиптические уравнения не зависят от времени, то для них задаются, только краевые условия. Для аналитического решения применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений[править | править вики-текст]

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

А так же многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.