Эндоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизмгомоморфизм вида ƒ: G → G, отображающий алгебраическую систему в себя. Более общо, мы можем говорить об эндоморфизмах в произвольной категории. В любой категории композиция двух эндоморфизмов X также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что эндоморфизмы X образуют моноид, который обозначается End(X) (или EndC(X), чтобы подчеркнуть категорию C).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством End(X) с естественной структурой группы, оно обозначается Aut(X).

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a). С определенным таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, множество эндоморфизмов свободной абелевой группы Zn - 'это кольцо всех n × n матриц с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почти-кольцо.

Примечания[править | править вики-текст]