Эндоморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эндоморфизмгомоморфизм вида f \colon G \rightarrow G, отображающий алгебраическую систему в себя. Более обще, мы можем говорить об эндоморфизмах в произвольной категории. В любой категории композиция двух эндоморфизмов X также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что эндоморфизмы X образуют моноид, который обозначается \operatorname{End}(X) (или \operatorname{End}_C(X), чтобы подчеркнуть категорию C).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством \operatorname{End}(X) с естественной структурой группы, оно обозначается \operatorname{Aut}(X).

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу (f+g)(a)=f(a)+g(a). С определенным таким образом сложением, эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы \mathbb Z^n — это кольцо всех n \times n матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

Примечания[править | править вики-текст]