Эрмитово-сопряжённая матрица

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транcпони́рованная ма́трица — это матрица $A$ ^* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы $A$ транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения[править]

Если исходная матрица $A$ имеет размер $m \times n$ , то эрмитово-сопряжённая к $A$ матрица $A^*$ будет иметь размер $n \times m,$ а её $(i, j)$ -й элемент будет равен:

$\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},$

где $\overline{z}$ обозначает комплексно-сопряжённое число к $z$ (сопряжённое число к $a + bi$ есть $a - bi$ , где $a$ и $b$ — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как $A^*$ или $A^H$ (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

$A^{\dagger}$ — в квантовой механике;
$\! A^+$ — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
$\overline{A}^T$ .

Пример[править]

Если

$A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}$

тогда

$A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.$

Связанные определения[править]

Если матрица $A$ состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

$A^* = A^T,$ если $a_{ij} \in \mathbb{R}.$

Квадратная матрица $A$ называется:

эрмитовой, если $A^*= A$ ;
антиэрмитовой или косоэрмитовой, если $A^* = -A$ ;
нормальной, если $A^A* = AA^*$ ;
унитарной, если $A^*A = AA^* = I$ , где $I$ — единичная матрица.

Свойства[править]

$(A + B)^* = A^* + B^*$ для любых двух матриц $A$ и $B$ одинаковых размеров.
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ для любого комплексного скаляра $c \in \mathbb{C}$ .
$(AB)^* = B^* A^*$ для любых матриц $A$ и $B$ , таких, что определено их произведение $AB$ . Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
$(A^*)^* = A$ для любой матрицы $A$ .
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
$A$ обратима если и только если обратима матрица $A^*$ . При этом:

$\! (A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$
$\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ для любой матрицы $A$ размера $m \times n$ и любых векторов $x \in \mathbb{C}^n$ и $y \in \mathbb{C}^m$ . Обозначение $\langle\cdot,\cdot\rangle$ обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы $AA^*$ и $A^*A$ являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы $A$ (необязательно квадратной). Если $A$ квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.