Эрмитово-сопряжённая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица A* с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы A транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения[править | править исходный текст]

Если исходная матрица A имеет размер m \times n, то эрмитово-сопряжённая к A матрица A^* будет иметь размер n \times m, а её (i, j)-й элемент будет равен:

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

где \overline{z} обозначает комплексно-сопряжённое число к z (сопряжённое число к a + bi есть a - bi, где a и b — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как A^* или A^H (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

Пример[править | править исходный текст]

Если

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

тогда

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Если матрица A состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

A^* = A^T, если a_{ij} \in \mathbb{R}.

Квадратная матрица A называется:

Свойства[править | править исходный текст]

  • (A + B)^* = A^* + B^* для любых двух матриц A и B одинаковых размеров.
  • (cA)^* = \overline{c} A^* для любого комплексного скаляра c \in \mathbb{C}.
  • (AB)^* = B^* A^* для любых матриц A и B, таких, что определено их произведение AB. Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
  • (A^*)^* = A для любой матрицы A.
  • Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
  • A обратима если и только если обратима матрица A^*. При этом:
    \! (A^*)^{-1} = (A^{-1})^*
  • \langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle для любой матрицы A размера m \times n и любых векторов x \in \mathbb{C}^n и y \in \mathbb{C}^m. Обозначение \langle\cdot,\cdot\rangle обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
  • Матрицы AA^* и A^*A являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы A (необязательно квадратной). Если A квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

См. также[править | править исходный текст]

  • Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Ссылки[править | править исходный текст]