Эффективная оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Оценка  \widehat{\theta_1} \in \Kappa\! параметра  \theta \! называется эффективной оценкой в классе \Kappa\!, если для любой другой оценки  \widehat{\theta_2} \in \Kappa\! выполняется неравенство  M_{\theta}(\widehat{\theta_1}-\theta)^2\leqslant M_{\theta}(\widehat{\theta_2}-\theta)^2\! для любого \theta\!.

Особую роль в математической статистике играют несмещенные оценки. Если несмещенная оценка \widehat{\theta_1}\! является эффективной оценкой в классе несмещенных, то такую статистику принято называть просто эффективной.

Единственность[править | править вики-текст]

Эффективная оценка  \widehat{\theta}\! в классе \Kappa_b = \{ E( \widehat{\theta}) = c(\theta)\}\!, где c(\theta)\! — некоторая функция, существует и единственна с точностью до значений на множестве A\!, вероятность попасть в которое равна нулю (P(x \in A)=0\!).

Асимптотическая эффективность[править | править вики-текст]

Некоторые оценки могут быть не самыми эффективными на малых выборках, однако могут обладать преимуществами на больших выборках. Обычно рассматриваются состоятельные оценки, дисперсия которых с увеличением объема выборки стремится к нулю. Поэтому сравнить такие оценки можно по скорости сходимости, то есть фактически по дисперсии (ковариационной матрицы) случайной величины (вектора) \sqrt{n}\hat{\theta}. В частности, асимптотически нормальная оценка

\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta)\xrightarrow d N(0,V)

является асимптотически эффективной, если асимптотическая ковариационная матрица V минимальна в данном классе оценок.

См. также[править | править вики-текст]