Ядро Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ядро Дирихле — 2\pi-периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}.

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и ее приближениями в пространстве L_2[-\pi,\pi].

Соотношение с рядом Фурье[править | править исходный текст]

Пусть f(x) — интегрируема на [-\pi, \pi] и 2\pi-периодическая, тогда \forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}

S_n(f;x) = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)D_n(u)du

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство[править | править исходный текст]

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

S_n(f;x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n} (a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx))\qquad(1) S_n(f;x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)dt + \sum_{k=1}^n\left[\left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx) + \left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad(2) S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad(3)

Применяя формулу разности косинусов к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad(4)

Рассмотрим сумму косинусов: \frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)

Умножим каждое слагаемое на 2\sin(\frac\alpha{2}) и преобразуем по формуле  2\sin  \alpha  \cos  \beta = \sin ( \alpha + \beta) +  \sin ( \alpha - \beta)

2\sin(\frac\alpha{2})\left(\frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)\right) = \sin\frac\alpha{2} - \sin\frac\alpha{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2} + ... + \sin(n+\frac{1}{2})\alpha = \sin(n+\frac{1}{2})\alpha

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})(t-x)}{2\sin\frac{t-x}{2}}dt\qquad(5)

Сделаем замену переменного u = t - x

S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi - x}^{\pi - x}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du\qquad(6)

Свойства ядра Дирихле[править | править исходный текст]

  • D_n(x) — функция 2\pi-периодическая и четная.
  • \forall n \in \mathbb{N}~  \int\limits_{-\pi}^{\pi}D_n(u)du = 1

См. также[править | править исходный текст]