Ядро Пуассона

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае

На комплексной плоскости ядро Пуассона $P_r(\theta)$ задаётся формулой

$P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{in\theta} = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} = \operatorname{Re} \left (\frac {1+re^{i\theta}} {1-re^{i\theta}} \right), \ \ \ 0 \le r < 1.$

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию $r(\Theta)$ или как семейство функций $\Theta_r$ при $0 \le r < 1.$

Если область $D$ такова, что $D = \{z:|z|<1\}$ — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция $f$ задана в области $D$, то функция

$u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it}) \, \mathrm{d}t, \ \ \ 0 \le r < 1$

является гармонической функцией в области $D.$

Так как граничные условия функции $u$ совпадают с граничными условиями функции $f$, то при $r \leftarrow 1 \ \ P_r(\theta)$ задаёт свёртку в пространстве $L^p(T).$^{[уточнить]}

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве $L^1.$ Пусть функция $f \in L^1(T)$ имеет ряд Фурье $\{f_k\}.$ После преобразований Фурье свёртка $P_r(\theta)$ умножается на ряд $\{r^k\} \in L^1(Z).$

Литература

• Conway, John B. (1978), «Functions of One Complex Variable I», Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
• Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), «Harmonic Function Theory», Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
• King, Frederick W. (2009), «Hilbert Transforms Vol. I», Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
• Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), «Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces», Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
• Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Gilbarg, D. & Trudinger, N., «Elliptic Partial Differential Equations of Second Order», ISBN 3-540-41160-7 .