Ядро Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае[править | править исходный текст]

На комплексной плоскости ядро Пуассона P_r(\theta) задаётся формулой

P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{in\theta} = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} = \operatorname{Re} \left (\frac {1+re^{i\theta}} {1-re^{i\theta}} \right), \ \ \ 0 \le r < 1.

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию r(\Theta) или как семейство функций \Theta_r при 0 \le r < 1.

Если область D такова, что D = \{z:|z|<1\} — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция f задана в области D, то функция

u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it}) \, \mathrm{d}t, \ \ \ 0 \le r < 1

является гармонической функцией в области D.

Так как граничные условия функции u совпадают с граничными условиями функции f, то при r \leftarrow 1 \ \ P_r(\theta) задаёт свёртку в пространстве L^p(T).[уточнить]

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве L^1. Пусть функция f \in L^1(T) имеет ряд Фурье \{f_k\}. После преобразований Фурье свёртка P_r(\theta) умножается на ряд \{r^k\} \in L^1(Z).

Литература[править | править исходный текст]